pq-Formel
In diesem Kapitel lernen wir die pq-Formel kennen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine quadratische Gleichung?
Einordnung
Die pq-Formel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform.
Es gibt vier Arten von quadratischen Gleichungen in Normalform:
| Normalform | |
|---|---|
| Reinquadratisch ohne Absolutglied | $x^2 = 0$ |
| Reinquadratisch mit Absolutglied | $x^2 + q = 0$ |
| Gemischtquadratisch ohne Absolutglied | $x^2 + px = 0$ |
| Gemischtquadratisch mit Absolutglied | $x^2 + px + q = 0$ |
Grundsätzlich können wir die pq-Formel auf alle vier Arten anwenden. Empfehlenswert ist eine Anwendung allerdings nur für gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied, weil für die anderen Arten einfachere Lösungsverfahren existieren.
Formel
Quadratische Gleichung in Normalform
$$ x^2 + px + q = 0 $$
pq-Formel
$$ x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$}}} $$
Fallunterscheidung
$$ x_{1} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$
$$ x_{2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$
Anleitung
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen
Lösungen berechnen
Lösungsmenge aufschreiben
zu 1)
Fehlerquelle
Dass $-2x^2 + 8x - 12 = 0$ nicht in Normalform vorliegt, sieht jeder.
Dass $-x^2 + 4x - 6 = 0$ nicht in Normalform vorliegt, wird aber gern übersehen. Wir müssen hier nämlich durch $-1$ dividieren, um das negative Vorzeichen von $x^2$ loszuwerden. Die Normalform von $-x^2 + 4x - 6 = 0$ ist $x^2 - 4x + 6 = 0$. Wir erinnern uns: Bei Division durch eine negative Zahl drehen sich alle Vorzeichen um.
zu 2)
Beim Herauslesen von $p$ und $q$ kommt es häufig zu Fehlern.
Die folgende Tabelle zeigt für jede Gleichungsart ein Beispiel:
| Reinquadratisch ohne Absolutglied | $x^2 = 0$$p = 0$ und $q = 0$ |
| Reinquadratisch mit Absolutglied | $x^2 - 4 = 0$$p = 0$ und $q = -4$ |
| Gemischtquadratisch ohne Absolutglied | $x^2 - 4x = 0$$p = -4$ und $q = 0$ |
| Gemischtquadratisch mit Absolutglied | $x^2 - x + 5 = 0$$p = -1$ und $q = 5$ |
Regeln
- Wenn das lineare Glied fehlt, gilt
$p = 0$. - Wenn das absolute Glied fehlt, gilt
$q = 0$. - Wenn das
$x$allein steht, gilt$p = 1$(wegen$1 \cdot x = x$).
Vorzeichen beachten:$-x$führt zu$p = -1$.
zu 4)
Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Welcher Fall vorliegt, können wir an dem Term unter der Wurzel, also an dem Ergebnis von ${\fcolorbox{yellow}{}{$\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$}}$, erkennen. Dieser Term heißt Diskriminante.
Beispiele
Löse die quadratische Gleichung
$$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$
mithilfe der pq-Formel.
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen
$p = -4$ und $q = 3$
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen
$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px] &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-3} \end{align*} $$
Lösungen berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-3} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{4-3} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$1$}}} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q > 0$...}} \\[5px] &= 2 \pm 1 \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = 2 - 1 = 1 $$
$$ x_2 = 2 + 1 = 3 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{1; 3\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es zwei Lösungen!}} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$
mithilfe der pq-Formel.
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen
$p = -4$ und $q = 4$
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen
$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px] &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-4} \end{align*} $$
Lösungen berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-4} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{4-4} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$0$}}} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q = 0$...}} \\[5px] &= 2 \pm 0 \\[5px] &= 2 \end{align*} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{2\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es eine Lösung!}} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ x^2 - 4x + 7= 0 $$
mithilfe der pq-Formel.
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen
$p = -4$ und $q = 7$
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen
$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px] &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-7} \end{align*} $$
Lösungen berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-7} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{4-7} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$-3$}}} \qquad {\colorbox{yellow}{Wenn $\left(\frac{p}{2}\right)^2-q < 0$...}} \end{align*} $$
$\Rightarrow$ Es gibt keine reellen Lösungen, weil in der Menge der reellen Zahlen das Wurzelziehen einer Wurzel mit negativem Radikanden nicht definiert ist.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{\,\} \quad \quad {\colorbox{yellow}{...dann gibt es keine Lösung!}} $$
Anmerkung
Wenn wir die Definitionsmenge der quadratischen Gleichung auf die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erweitern, hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen.
Herleitung
Erforderliches Vorwissen
Löse die quadratische Gleichung
$$ x^2 + px + q = 0 $$
mithilfe der quadratischen Ergänzung.
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Die Gleichung liegt bereits in Normalform vor.
Absolutglied auf die rechte Seite bringen
$$ \begin{align*} x^2 + px + q &= 0 &&{\color{gray}|\, -q} \\[5px] x^2 + px &= -q \end{align*} $$
Quadratische Ergänzung durchführen
Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $x$.
$$ \begin{align*} x^2 + {\color{red}p}x &= -q &&{\color{gray}\left|\, +\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2\right.} \\[5px] x^2 + px {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2} &= {\color{gray}\left(\frac{{\color{red}p}}{2}\right)^2} - q \end{align*} $$
Binomische Formel anwenden
$$ \begin{align*} {\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} px + \left({\color{red}\frac{p}{2}}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q &&{\color{gray}| \text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px] \left({\color{red}x + \frac{p}{2}}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \end{align*} $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] x + \frac{p}{2} &= \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \end{align*} $$
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ \begin{align*} x + \frac{p}{2} &= \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} &&{\color{gray}\left|\,-\frac{p}{2}\right.} \end{align*} $$
pq-Formel
$$ x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q} $$
