Quadratische Gleichungen grafisch lösen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man quadratische Gleichungen grafisch löst.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine quadratische Gleichung?
- Was ist eine quadratische Funktion?
Einordnung
Mithilfe der quadratischen Ergänzung, der Mitternachtsformel, der pq-Formel oder dem Satz von Vieta können wir die Lösungen einer quadratischen Gleichung exakt berechnen. Für viele praktische Anwendungen genügt allerdings eine Näherungslösung.
Grafische Verfahren zum Lösen von Gleichungen sind immer Näherungsverfahren.
Unsere Zeichen(un)genauigkeit erlaubt uns nur ein ungefähres, also näherungsweises, Ablesen der Lösungen.
Die beiden im Folgenden vorgestellten Lösungsverfahren haben eine Gemeinsamkeit: Im 1. Schritt bringen wir quadratische Gleichung in Normalform. Das hat den Grund, dass wir dann beim Zeichnen des Graphen der entsprechenden quadratischen Funktion die Zeichenschablone für die Normalparabel verwenden können. Das zeitaufwändige Anlegen einer Wertetabelle entfällt.
Verschobene Normalparabel
Die Lösungen der quadratischen Gleichung entsprechen den Nullstellen der zu der quadratischen Gleichung gehörenden Normalparabel.
Gleichung in Normalform bringen
Gleichung in Scheitelpunktform bringen
Scheitelpunkt aus Scheitelpunktform ablesen
Normalparabel in Koordinatensystem einzeichnen
Nullstellen der Normalparabel ablesen
Lösungsmenge aufschreiben
zu 5)
Wir können folgende drei Lösungsfälle beobachten:
Löse die quadratische Gleichung
$$ -2x^2 + 2x - 2 = 0 $$
grafisch.
Gleichung in Normalform bringen
$$ \begin{align*} -2x^2 + 2x - 2 &= 0 &&{\color{gray}|\, :(-2)} \\[5px] x^2 - x + 1 &= 0 \end{align*} $$
Gleichung in Scheitelpunktform bringen
$$ \begin{align*} x^2 - x + 1 &= 0 &&{\color{gray}| \text{ Absolutglied auf rechte Seite}} \\[5px] x^2 - x &= -1 &&{\color{gray}| \text{ Quadratische Ergänzung}} \\[5px] x^2 - {\color{red}1} \cdot x + \left(\frac{\color{red}1}{2}\right)^2 &= -1 + \left(\frac{\color{red}1}{2}\right)^2 &&{\color{gray}| \text{ Binomische Formel}} \\[5px] \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 &= -1 + 0{,}25 \\[5px] (x - 0{,}5)^2 &= -0{,}75 \\[5px] \end{align*} $$
Scheitelpunkt aus Scheitelpunktform ablesen
$$ S(0{,}5|0{,}75) $$
Normalparabel in Koordinatensystem einzeichnen
$$ f(x) = x^2 - x + 1 $$
ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt in $S(0{,}5|0{,}75)$.
Nullstellen der Normalparabel ablesen
Die obige Normalparabel hat keine Nullstellen.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{\,\} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ -2x^2 + 2x - 0{,}5 = 0 $$
grafisch.
Gleichung in Normalform bringen
$$ \begin{align*} -2x^2 + 2x - 0{,}5 &= 0 &&{\color{gray}|\, :(-2)} \\[5px] x^2 - x + 0{,}25 &= 0 \end{align*} $$
Gleichung in Scheitelpunktform bringen
$$ \begin{align*} x^2 - x + 0{,}25 &= 0 &&{\color{gray}| \text{ Absolutglied auf rechte Seite}} \\[5px] x^2 - x &= -0{,}25 &&{\color{gray}| \text{ Quadratische Ergänzung}} \\[5px] x^2 - {\color{red}1} \cdot x + \left(\frac{\color{red}1}{2}\right)^2 &= -0{,}25 + \left(\frac{\color{red}1}{2}\right)^2 &&{\color{gray}| \text{ Binomische Formel}} \\[5px] \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 &= -0{,}25 + 0{,}25 \\[5px] (x - 0{,}5)^2 &= 0 \\[5px] \end{align*} $$
Scheitelpunkt aus Scheitelpunktform ablesen
$$ S(0{,}5|0) $$
Normalparabel in Koordinatensystem einzeichnen
$$ f(x) = x^2 - x + 0{,}25 $$
ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt in $S(0{,}5|0)$.
Nullstellen der Normalparabel ablesen
$$ x = 0{,}5 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{0{,}5\} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ -2x^2 + 2x + 4 = 0 $$
grafisch.
Gleichung in Normalform bringen
$$ \begin{align*} -2x^2 + 2x + 4 &= 0 &&{\color{gray}|\, :(-2)} \\[5px] x^2 - x - 2 &= 0 \end{align*} $$
Gleichung in Scheitelpunktform bringen
$$ \begin{align*} x^2 - x - 2 &= 0 &&{\color{gray}| \text{ Absolutglied auf rechte Seite}} \\[5px] x^2 - x &= 2 &&{\color{gray}| \text{ Quadratische Ergänzung}} \\[5px] x^2 - {\color{red}1} \cdot x + \left(\frac{\color{red}1}{2}\right)^2 &= 2 + \left(\frac{\color{red}1}{2}\right)^2 &&{\color{gray}| \text{ Binomische Formel}} \\[5px] \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 &= 2 + 0{,}25 \\[5px] (x - 0{,}5)^2 &= 2{,}25 \\[5px] \end{align*} $$
Scheitelpunkt aus Scheitelpunktform ablesen
$$ S(0{,}5|{-2{,}25}) $$
Normalparabel in Koordinatensystem einzeichnen
$$ f(x) = x^2 - x - 2 $$
ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt in $S(0{,}5|{-2{,}25})$.
Nullstellen der Normalparabel ablesen
$$ x_1 = -1 $$
$$ x_2 = 2 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-1; 2\} $$
Normalparabel und Gerade
Die Lösungen der quadratischen Gleichung entsprechen den Schnittpunkten der zu der quadratischen Gleichung gehörenden Normalparabel und der Gerade.
Gleichung nach $\boldsymbol{x^2}$ auflösen
Normalparabel und Gerade in Koordinatensystem einzeichnen
$\boldsymbol{x}$-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen ablesen
Lösungsmenge aufschreiben
zu 3)
Wir können folgende drei Lösungsfälle beobachten:
Löse die quadratische Gleichung
$$ -2x^2 + 2x - 2 = 0 $$
grafisch.
Gleichung nach $\boldsymbol{x^2}$ auflösen
$$ \begin{align*} -2x^2 + 2x - 2 &= 0 &&{\color{gray}|\, :(-2)} \\[5px] x^2 - x + 1 &= 0 &&{\color{gray}|\, +x-1} \\[5px] x^2 &= x - 1 \end{align*} $$
Normalparabel und Gerade in Koordinatensystem einzeichnen
$f(x) = x^2$ ist die Normalparabel.
$g(x) = x - 1$ ist eine Gerade mit der Steigung $m = 1$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b = -1$.
$\boldsymbol{x}$-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen ablesen
Die beiden Graphen haben keine Schnittpunkte.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{\,\} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ -2x^2 + 2x - 0{,}5 = 0 $$
grafisch.
Gleichung nach $\boldsymbol{x^2}$ auflösen
$$ \begin{align*} -2x^2 + 2x - 0{,}5 &= 0 &&{\color{gray}|\, :(-2)} \\[5px] x^2 - x + 0{,}25 &= 0 &&{\color{gray}|\, +x-0{,}25} \\[5px] x^2 &= x - 0{,}25 \end{align*} $$
Normalparabel und Gerade in Koordinatensystem einzeichnen
$f(x) = x^2$ ist die Normalparabel.
$g(x) = x - 0{,}25$ ist eine Gerade mit der Steigung $m = 1$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b = -0{,}25$.
$\boldsymbol{x}$-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen ablesen
Die beiden Graphen haben einen Schnittpunkt mit der $x$-Koordinate $x = 0{,}5$.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{0{,}5\} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ -2x^2 + 2x + 4 = 0 $$
grafisch.
Gleichung nach $\boldsymbol{x^2}$ auflösen
$$ \begin{align*} -2x^2 + 2x + 4 &= 0 &&{\color{gray}|\, :(-2)} \\[5px] x^2 - x - 2 &= 0 &&{\color{gray}|\, +x+2} \\[5px] x^2 &= x + 2 \end{align*} $$
Normalparabel und Gerade in Koordinatensystem einzeichnen
$f(x) = x^2$ ist die Normalparabel.
$g(x) = x + 2$ ist eine Gerade mit der Steigung $m = 1$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b = 2$.
$\boldsymbol{x}$-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen ablesen
Die beiden Graphen haben zwei Schnittpunkte mit den $x$-Koordinaten $x_1 = -1$ und $x_2 = 2$.
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-1;2\} $$
Anmerkungen
Wenn du quadratische Gleichungen grafisch lösen möchtest und auf der Suche nach dem einfachsten Verfahren bist, dann empfiehlt sich die Vorgehensweise, die wir uns als Letztes angeschaut haben. Der Vorteil gegenüber dem 1. Verfahren ist eindeutig: Es muss keine – von vielen Schülern als kompliziert empfundene – quadratische Ergänzung durchgeführt werden.
In der Schule kommen in der Regel nur Aufgaben vor, bei denen sich die Lösungen so wie in den obigen Beispielen einfach ablesen lassen. Letztlich können wir uns aber erst sicher sein, dass wir die richtigen Lösungen haben, wenn wir die Probe machen: Wir setzen die Lösungen in die Ausgangsgleichung ein und schauen, ob eine wahre Aussage entsteht. Schließlich könnten die Lösungen statt z. B. $x_1 = -1$ und $x_2 = 2$ auch $x_1 = -1{,}01$ und $x_2 = 1{,}98$ sein.
