Quadratische Gleichungen und komplexe Zahlen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was passiert, wenn wir eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten lösen, deren Definitionsmenge die Menge der komplexen Zahlen ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine quadratische Gleichung?
- Komplexe Zahlen
Einordnung
In den vorherigen Kapiteln haben wir oft gehört, dass eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen haben kann. Dieser Satz gilt aber nur, wenn wir die Definitionsmenge – wie in der Schule üblich – auf die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ beschränken. Eine Erweiterung der Definitionsmenge auf die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ führt uns zu folgendem Satz:
Eine quadratische Gleichung kann zwei komplexe, eine reelle oder zwei reelle Lösungen haben.
Eine quadratische Gleichung hat genau dann zwei komplexe Lösungen, wenn die Diskriminante kleiner als Null ($D < 0$) ist.
Reinquadratische Gleichungen
Nur bei reinquadratischen Gleichungen mit Absolutglied sind komplexe Lösungen möglich.
Gleichung nach $\boldsymbol{x^2}$ auflösen
Wurzel ziehen
Lösungsmenge aufschreiben
Löse die quadratische Gleichung
$$ 2x^2 + 8 = 0 $$
Gleichung nach $\boldsymbol{x^2}$ auflösen
$$ \begin{align*} 2x^2 + 8 &= 0 &&{\color{gray}|\, -8} \\[5px] 2x^2 + 8 {\color{gray}\;-\;8} &= 0 {\color{gray}\;-\;8} \\[5px] 2x^2 &= -8 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] \frac{2x^2}{\color{gray}2} &= \frac{-8}{\color{gray}2} \\[5px] x^2 &= -4 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} x^2 &= -4 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{-4}}} \\[5px] x &= \pm \sqrt{-4} &&{\color{gray}|\, -1\text{ ausklammern}} \\[5px] x &= \pm \sqrt{4 \cdot (-1)} &&{\color{gray}|\, -1\text{ abspalten}} \\[5px] x &= \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\, i = \sqrt{-1}} \\[5px] x &= \pm \sqrt{4} \cdot i \\[5px] x &= \pm 2i \\[5px] \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = -2i $$
$$ x_2 = 2i $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-2i; 2i\} $$
Gemischtquadratische Gleichungen
Nur bei gemischtquadratischen Gleichungen mit Absolutglied sind komplexe Lösungen möglich.
Quadratische Ergänzung
Erforderliches Vorwissen
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Absolutglied auf die rechte Seite bringen
Quadratische Ergänzung durchführen
Binomische Formel anwenden
Wurzel ziehen
Gleichungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Lösungsmenge aufschreiben
Löse die quadratische Gleichung
$$ 2x^2 + 12x + 20 = 0 $$
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
$$ \begin{align*} 2x^2 + 12x + 20 &= 0 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] x^2 + 6x + 10 &= 0 \end{align*} $$
Absolutglied auf die rechte Seite bringen
$$ \begin{align*} x^2 + 6x + 10 &= 0 &&{\color{gray}|\, -10} \\[5px] x^2 + 6x &= -10 \end{align*} $$
Quadratische Ergänzung durchführen
Die quadratische Ergänzung entspricht dem Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $x$.
$$ \begin{align*} x^2 + {\color{red}6}x &= -10 &&{\color{gray}\left|\, +\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right.} \\[5px] x^2 + 6x {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} &= -10 {\color{gray}\,+\,\left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2} \\[5px] x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 3^2 \\[5px] x^2 + 6x + 3^2 &= -10 + 9 \\[5px] x^2 + 6x + 3^2 &= -1 \end{align*} $$
Binomische Formel anwenden
$$ \begin{align*} {\color{red}x}^2 {\color{red}\,+\,} 6x + {\color{red}3}^2 &= -1 &&{\color{gray}| \text{ 1. Binomische Formel}} \\[5px] ({\color{red}x + 3})^2 &= -1 \end{align*} $$
Wurzel ziehen
$$ \begin{align*} (x + 3)^2 &= -1 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] x + 3 &= \pm \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\, i = \sqrt{-1}} \\[5px] x + 3 &= \pm i \end{align*} $$
Gleichungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ \begin{align*} x + 3 &= \pm i &&{\color{gray}|\, -3} \\[5px] x &= -3 \pm i \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = -3 - i $$
$$ x_2 = -3 + i $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{-3-i; -3+i\} $$
Mitternachtsformel
Erforderliches Vorwissen
Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
Lösungen berechnen
Lösungsmenge aufschreiben
Löse die quadratische Gleichung
$$ -3x^2 + 6x - 15 = 0 $$
Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
$a = -3$, $b = 6$ und $c = -15$
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
$$ \begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px] &= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-15)}}{2 \cdot (-3)} \end{align*} $$
Lösungen berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{x_{1,2}} &= \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 180}}{-6} \\[5px] &= \frac{-6 \pm \sqrt{-144}}{-6} &&{\color{gray}|\, -1\text{ ausklammern}} \\[5px] &= \frac{-6 \pm \sqrt{144 \cdot (-1)}}{-6} &&{\color{gray}|\, -1\text{ abspalten}} \\[5px] &= \frac{-6 \pm \sqrt{144} \cdot \sqrt{-1}}{-6} &&{\color{gray}|\, i = \sqrt{-1}} \\[5px] &= \frac{-6 \pm \sqrt{144} \cdot i}{-6} \\[5px] &= \frac{-6 \pm \sqrt{12^2} \cdot i}{-6} \\[5px] &= \frac{-6 \pm 12i}{-6} \\[5px] &= \frac{-6}{-6} \pm \frac{12}{-6}i \\[5px] &= 1 \pm (-2i) \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = 1 - (-2i) = 1 + 2i $$
$$ x_2 = 1 + (-2i) = 1 - 2i $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{1 - 2i; 1 + 2i\} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ 2x^2 - 8x + 11 = 0 $$
Quadratische Gleichung in allgemeine Form bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die Gleichung bereits in allgemeiner Form vorliegt.
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen
$a = 2$, $b = -8$ und $c = 11$
$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ in die Mitternachtsformel einsetzen
$$ \begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px] &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{2 \cdot 2} \end{align*} $$
Lösungen berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{x_{1,2}} &= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 88}}{4} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{-24}}{4} &&{\color{gray}|\, -1\text{ ausklammern}} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{24 \cdot (-1)}}{4} &&{\color{gray}|\, -1\text{ abspalten}} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{24} \cdot \sqrt{-1}}{4} &&{\color{gray}|\, i = \sqrt{-1}} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{24} \cdot i}{4} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{2^2 \cdot 6} \cdot i}{4} \\[5px] &= \frac{8 \pm \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{6} \cdot i}{4} \\[5px] &= \frac{8 \pm 2\sqrt{6}i}{4} \\[5px] &= \frac{8}{4} \pm \frac{2\sqrt{6}}{4}i \\[5px] &= 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}i \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}i $$
$$ x_2 = 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}i $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \left\{2 - \frac{\sqrt{6}}{2}i; 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}i\right\} $$
pq-Formel
Erforderliches Vorwissen
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen
Lösungen berechnen
Lösungsmenge aufschreiben
Löse die quadratische Gleichung
$$ x^2 - 2x + 5= 0 $$
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen
$p = -2$ und $q = 5$
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen
$$ \begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px] &= -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-5} \end{align*} $$
Lösungen berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{x_{1,2}} &= 1 \pm \sqrt{(-1)^2-5} \\[5px] &= 1 \pm \sqrt{1-5} \\[5px] &= 1 \pm \sqrt{-4} &&{\color{gray}|\, -1 \text{ ausklammern}} \\[5px] &= 1 \pm \sqrt{4 \cdot (-1)} &&{\color{gray}|\, -1 \text{ abspalten}} \\[5px] &= 1 \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\, i = \sqrt{-1}} \\[5px] &= 1 \pm 2 \cdot i \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = 1 - 2i $$
$$ x_2 = 1 + 2i $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{1 - 2i; 1 + 2i\} $$
Löse die quadratische Gleichung
$$ x^2 - 4x + 7= 0 $$
Quadratische Gleichung in Normalform bringen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen
$p = -4$ und $q = 7$
$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen
$$ \begin{align*} x_{1,2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \\[5px] &= -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-7} \end{align*} $$
Lösungen berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{x_{1,2}} &= 2 \pm \sqrt{(-2)^2-7} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{4-7} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{-3} &&{\color{gray}|\, -1 \text{ ausklammern}} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{3 \cdot (-1)} &&{\color{gray}|\, -1 \text{ abspalten}} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{3} \cdot \sqrt{-1} &&{\color{gray}|\, i = \sqrt{-1}} \\[5px] &= 2 \pm \sqrt{3} \cdot i \end{align*} $$
Fallunterscheidung
$$ x_1 = 2 - \sqrt{3}i $$
$$ x_2 = 2 + \sqrt{3}i $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{2 - \sqrt{3}i; 2 + \sqrt{3}i\} $$
