Komplexe Zahlen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was komplexe Zahlen sind.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Ist $x$ eine beliebige positive oder negative Zahl, so ist das Quadrat von $x$ immer positiv.
Aus diesem Grund erfüllt keine reelle Zahl die Gleichung
$$ x^2 = -1 \qquad \text{bzw.} \qquad x = \sqrt{-1} $$
Mathematiker haben sich damit aber nicht zufrieden gegeben und eine imaginäre Zahl eingeführt, für die gilt
$$ i^2 = -1 \qquad \text{bzw.} \qquad i = \sqrt{-1} $$
Imaginäre Zahlen bilden zusammen mit den reellen Zahlen die Menge der komplexen Zahlen:
$$ \mathbb{C}=\{z = a + bi \,|\, a,b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1}\} $$
$\boldsymbol{z = x + y \cdot i}$ ist eine komplexe Zahl mit dem Realteil $\boldsymbol{x}$ und dem Imaginärteil $\boldsymbol{y}$.
$x$ und $y$ sind reelle Zahlen. $i$ wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
Komplexe Ebene (Gaußsche Zahlenebene)
Komplexe Zahlen können geometrisch als Punkte oder Vektoren in der komplexen Ebene (auch: Gaußsche Zahlenebene) interpretiert werden.
Die $x$-Achse der gaußschen Zahlenebene entspricht der $x$-Achse in einem normalen kartesischen Koordinatensystem. Die $x$-Achse heißt hier reelle Achse.
Die $y$-Achse der gaußschen Zahlenebene unterscheidet sich dagegen von der $y$-Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Auf der $y$-Achse wird nämlich die imaginäre Einheit $i$ abgetragen. Diese Achse heißt dementsprechend imaginäre Achse.
Komplexe Zahlen addieren und subtrahieren
Gegeben sind zwei komplexe Zahlen
$$ z_1 = x_1 + y_1 \cdot i $$
$$ z_2 = x_2 + y_2 \cdot i $$
Die Summe bzw. Differenz der beiden Zahlen ist definiert durch
$$ z_1 + z_2 = (x_1+x_2) \;{\color{red}+}\; (y_1+y_2)i $$
$$ z_1 - z_2 = (x_1-x_2) \;{\color{red}+}\; (y_1-y_2)i $$
Merke: Sowohl bei der Addition als auch bei der Subtraktion von komplexen Zahlen kommt in der Formel ein Pluszeichen vor (rot markiert).
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = 3 + 4i$ und $z_2 = 5 + 2i$.
Berechne $z_1 + z_2$.
$$ \begin{align*} z_1 + z_2 &= (3 + 4i) + (5 + 2i) \\[5px] &= (3 + 5) + (4i + 2i) \\[5px] &= 8 + 6i \end{align*} $$
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = 8 + 4i$ und $z_2 = 5 + 2i$.
Berechne $z_1 - z_2$.
$$ \begin{align*} z_1 - z_2 &= (8 + 4i) - (5 + 2i) \\[5px] &= (8 - 5) \;{\color{red}+}\; (4i - 2i) \\[5px] &= 3 + 2i \end{align*} $$
Die Addition bzw. die Subtraktion von komplexen Zahlen entspricht graphisch der Vektoraddition bzw. der Vektorsubtraktion.
$$ \begin{align*} z_1 + z_2 &= (1 + 3i) + (3 - 2i) \\ &= 4 +1i \end{align*} $$
Komplexe Zahlen multiplizieren
Gegeben sind zwei komplexe Zahlen
$$ z_1 = x_1 + y_1 \cdot i $$
$$ z_2 = x_2 + y_2 \cdot i $$
Das Produkt der beiden Zahlen ist definiert durch
$$ \begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= (x_1 + y_1 \cdot i) \cdot (x_2 + y_2 \cdot i) \\ &= x_1x_2 + x_1y_2 \cdot i + x_2y_1 \cdot i + y_1y_2 \cdot i^2 \qquad \text{Hinweis: $i^2 = -1$} \\ &= (x_1x_2 - y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1) \cdot i \end{align*} $$
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = 3 + 4i$ und $z_2 = 5 + 2i$.
Berechne $z_1 \cdot z_2$.
$$ \begin{align*} z_1 \cdot z_2 &= (3 + 4i) \cdot (5 + 2i) \\[5px] &= 15 + 6i + 20i + 8i^2 && |\; i^2 = -1 \\[5px] &=15 + 26i + 8 \cdot (-1) \\[5px] &= 7 + 26i \end{align*} $$
Komplex Konjugierte
Bevor wir uns mit der Division von komplexen Zahlen beschäftigen, müssen wir uns anschauen, was es mit der komplex Konjugierten auf sich hat.
Die komplex Konjugierte $\boldsymbol{\bar{z}}$ einer komplexen Zahl $z = x + y \cdot i$ ist definiert durch
$$ \bar{z} = x - y \cdot i $$
Die konjugiert komplexe Zahl $\bar{z}$ einer komplexen Zahl $z$ erhält man durch das Vertauschen des Vorzeichens des Imaginärteils.
Graphisch entspricht das der Spiegelung von $z$ an der reellen Achse der komplexen Zahlenebene.
Mithilfe der komplex Konjugierten kann man den reziproken Wert $\boldsymbol{\frac{1}{z}}$ einer komplexen Zahl berechnen:
$$ \begin{align*} \frac{1}{z} &= \frac{1}{z} \cdot \frac{\bar{z}}{\bar{z}} \\[5px] &= \frac{\bar{z}}{z \cdot \bar{z}} \\[5px] &= \frac{x - y \cdot i}{x^2 + y^2} \end{align*} $$
Außerdem können wir mithilfe der komplex Konjugierten den Betrag (d. h. die Länge des Vektors) einer komplexen Zahl berechnen:
$$ \begin{align*} |z|^2 &= z \cdot \bar{z} \\[5px] &= (x + y \cdot i) \cdot (x - y \cdot i) \\[5px] &= x^2 - xyi + xyi - y^2i^2 \\[5px] &= x^2 + y^2 \end{align*} $$
Betrag einer komplexen Zahl
$$ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} $$
Komplexe Zahlen dividieren
Da wir jetzt wissen, wie man mit der komplex Konjugierten rechnet, können wir uns endlich anschauen, wie man komplexe Zahlen dividiert.
Um komplexe Zahlen zu dividieren, bedient man sich eines Tricks. Komplexe Zahlen werden dividiert, indem man den Zähler und den Nenner mit der komplex Konjugierten des Nenners multipliziert.
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}} $$
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = 4 + 3i$ und $z_2 = 2 + 2i$.
Berechne $\frac{z_1}{z_2}$.
$$ \begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{4 + 3i}{2 + 2i} \\[5px] &= \frac{4 + 3i}{2 + 2i} \cdot \frac{2 - 2i}{2 - 2i} \\[5px] &= \frac{8 - 8i + 6i - 6i^2}{4 - 4i + 4i - 4i^2} && |\; i^2 = -1 \\[5px] &= \frac{14 - 2i}{8} \\[5px] &= 1{,}75 - 0{,}25i \end{align*} $$
Im nächsten Beispiel sparen wir uns, den Nenner auszumultiplizieren, da wir ja das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer komplex Konjugierten bereits kennen.
$$ \begin{align*} z \cdot \bar{z} &= (x + y \cdot i) \cdot (x - y \cdot i) \\[5px] &= x^2 - xyi + xyi - y^2i^2 \\[5px] &= x^2 + y^2 \end{align*} $$
Gegeben seien die komplexen Zahlen $z_1 = 5 + 2i$ und $z_2 = 3 + 4i$.
Berechne $\frac{z_1}{z_2}$.
$$ \begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{5 + 2i}{3 + 4i} \\[5px] &= \frac{5 + 2i}{3 + 4i} \cdot \frac{3 - 4i}{3 - 4i} \\[5px] &= \frac{15 - 20i + 6i -8i^2}{3^2 + 4^2} && |\; i^2 = -1 \\[5px] &= \frac{23 - 14i}{25} \\[5px] &= \frac{23}{25} - \frac{14}{25}i \end{align*} $$
