Intervalle
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Intervalle sind.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Ein Intervall ist eine abkürzende Schreibweise für eine Teilmenge der Zahlengerade.
Gesucht ist eine Zahl $x$, für die gilt: $4 \leq x \leq 7$.
Statt $4 \leq x \leq 7$ kann man abkürzend schreiben: $x \in [4; 7]$.
Das Intervall $[4; 7]$
beschreibt die Menge aller Zahlen
von $4$ bis $7$.
Die beiden nach innen zeigenden eckigen Klammern bedeuten, dass die beiden Intervallgrenzen zum Intervall gehören.
Zum Intervall gehören also z. B.$4$; $4{,}01$; $4{,}5$; $5{,}89$; $6{,}2$ und $7$.
Nicht zum Intervall gehören z. B.$-3$; $0$; $1{,}3$; $3{,}99$; $7{,}01$ und $12$.
Intervalllänge
Die Differenz zwischen der oberen und der unteren Grenze des Intervalls heißt Intervalllänge.
Endliche Intervalle
Intervalle mit endlicher Länge heißen endliche Intervalle, beschränkte Intervalle oder eigentliche Intervalle.
Bei endlichen Intervallen sind beide Intervallgrenzen reelle Zahlen.
Das Intervall ${\color{green}[4}; {\color{green}7]}$
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (eingeschlossen) 4
bis (eingeschlossen) 7.
Die Intervallschreibweise richtet sich danach, ob die Intervallgrenzen zum Intervall gehören.
Das Intervall ${\color{red}]4}; {\color{red}7[}$
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (ausgeschlossen) $4$
bis (ausgeschlossen) $7$.
Das Intervall ${\color{green}[4}; {\color{red}7[}$
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (eingeschlossen) $4$
bis (ausgeschlossen) $7$.
Das Intervall ${\color{red}]4}; {\color{green}7]}$
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (ausgeschlossen) $4$
bis (eingeschlossen) $7$.
Es gibt zwei verschiedene Intervallschreibweisen:
Schreibweise I
Grenzen, die zum Intervall gehören: eckige Klammern
Grenzen, die nicht zum Intervall gehören: gewendete eckige Klammern
Schreibweise II
Grenzen, die zum Intervall gehören: eckige Klammern
Grenzen, die nicht zum Intervall gehören: runde Klammern
Die folgende Tabelle bietet einen Überblick über alle endlichen Intervalle.
| Schreibweise I | Schreibweise II | Mengenschreibweise | Typ |
|---|---|---|---|
${\color{green}[a}, {\color{green}b]}$ | ${\color{green}[a}, {\color{green}b]}$ | $\{x \:|\: {\color{green}a \leq\:} x {\color{green}\:\leq b}\}$ | geschlossen |
${\color{red}]a}, {\color{red}b[}$ | ${\color{red}(a}, {\color{red}b)}$ | $\{x \:|\: {\color{red}a <\:} x {\color{red}\:< b}\}$ | offen |
${\color{green}[a}, {\color{red}b[}$ | ${\color{green}[a}, {\color{red}b)}$ | $\{x \:|\: {\color{green}a \leq\:} x {\color{red}\:< b}\}$ | halboffen / rechtsoffen |
${\color{red}]a}, {\color{green}b]}$ | ${\color{red}(a}, {\color{green}b]}$ | $\{x \:|\: {\color{red}a <\:} x {\color{green}\:\leq b}\}$ | halboffen / linksoffen |
Beachte:
Endliche Intervalle heißen endlich, weil sie eine endliche Länge ($b - a$) haben.
Zwischen den Intervallgrenzen $a$ und $b$ liegen dennoch unendlich viele reelle Zahlen!
Unendliche Intervalle
Intervalle mit unendlicher Länge heißen unendliche Intervalle, unbeschränkte Intervalle oder uneigentliche Intervalle.
Bei unendlichen Intervallen ist eine Intervallgrenze entweder $-\infty$ oder $+\infty$.
Das Intervall ${\color{green}[4}; \infty[$
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (eingeschlossen) $4$
bis unendlich*.
Das Intervall ${\color{red}]4}; \infty[$
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (ausgeschlossen) $4$
bis unendlich*.
Das Intervall $]-\infty; {\color{green}7]}$
beschreibt die Menge aller Zahlen
von minus unendlich*
bis (eingeschlossen) $7$.
Das Intervall $]-\infty; {\color{red}7[}$
beschreibt die Menge aller Zahlen
von minus unendlich*
bis (ausgeschlossen) $7$.
*
$\infty$ (unendlich
) und $-\infty$ (minus unendlich
) gehören selbst nie zum Intervall.
Die folgende Tabelle bietet einen Überblick über alle unendlichen Intervalle.
| Schreibweise I | Schreibweise II | Mengenschreibweise | Typ |
|---|---|---|---|
${\color{green}[a}, \infty[$ | ${\color{green}[a}, \infty)$ | $\{x \:|\: {\color{green}a \leq\:} x\}$ | rechtsseitig unendlich geschlossen |
${\color{red}]a}, \infty[$ | ${\color{red}(a}, \infty)$ | $\{x \:|\: {\color{red}a <\:} x\}$ | rechtsseitig unendlich offen |
$]-\infty, {\color{green}b]}$ | $(-\infty, {\color{green}b]}$ | $\{x \:|\: x {\color{green}\:\leq b}\}$ | linksseitig unendlich geschlossen |
$]-\infty, {\color{red}b[}$ | $(-\infty, {\color{red}b)}$ | $\{x \:|\: x {\color{red}\:< b}\}$ | linksseitig unendlich offen |
$]-\infty, \infty[$ | $(-\infty, \infty)$ | $\mathbb{R}$ | beidseitig unendlich offen und geschlossen |
Bei dem letzten Intervall handelt es sich um einen Spezialfall:
Das Intervall $]-\infty, \infty[$ beschreibt die ganze Zahlengerade, also ganz $\mathbb{R}$.
Verwechslungsgefahr
Intervall vs. Menge
$[a, b]$ beschreibt ein Intervall, d. h. den ganzen Zahlenbereich von $a$ bis $b$ (beide Grenzen eingeschlossen).
Das Lösungsintervall der quadratischen Ungleichung $x^2 - 4 \leq 0$ ist $-2 \leq x \leq 2$.
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = [-2; 2] $$
$\{a, b\}$ beschreibt eine Menge,
die nur die beiden Zahlen $a$ und $b$ enthält, nicht aber die Zahlen dazwischen!
Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung $x^2 - 4 = 0$ ist $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$.
$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{-2; 2\} $$
Intervall vs. Tupel
$(a, b)$ kann ein Intervall (Schreibweise II) oder ein Tupel sein.
Die jeweilige Bedeutung ergibt sich aus dem Kontext der Aufgabenstellung.
