Mengenschreibweise
In diesem Kapitel lernen wir zwei Möglichkeiten kennen, Mengen in mathematischer Schreibweise aufzuschreiben: die aufzählende Mengenschreibweise und die beschreibende Mengenschreibweise.
Erforderliches Vorwissen
Aufzählende Mengenschreibweise
Bei der aufzählenden Schreibweise werden die Elemente zwischen geschweifte Klammern gesetzt und durch Kommas oder Semikolons getrennt:
$$ M = \{\text{Element 1}, \text{Element 2}, \text{Element 3}, \dots\} $$
Die aufzählende Schreibweise besitzt zwei interessante Eigenschaften:
1. Eigenschaft
Die Reihenfolge, in der die Elemente der Menge aufgezählt werden, spielt keine Rolle.
2. Eigenschaft
Das mehrfache Aufschreiben eines Elements ist gleichbedeutend mit dem einfachen Aufschreiben.
Diese beiden Eigenschaften gelten deshalb, weil zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn jedes Element von $A$ auch Element von $B$ ist und umgekehrt. Die Reihenfolge und die Anzahl der Elemente sind für die Gleichheit von Mengen dagegen unerheblich.
Beschreibende Mengenschreibweise
Bei der beschreibenden Schreibweise werden die Elemente durch die Angabe von charakterisierenden Eigenschaften beschrieben:
$$ M = \{ x~|~x \text{ besitzt die Eigenschaften } E_1, E_2, \dots, E_n\} $$
Die Eigenschaft kann in natürlicher Sprache formuliert werden.
$$ A = \{x~|~x \text{ ist ein Bundesstaat der USA}\} $$
gesprochen:
$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A}_\text{A} \quad \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist} \quad \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller} \quad \underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x} \quad \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:} \quad \underbrace{\vphantom{\vert} x \text{ ist ist ein Bundesstaat der USA}}_\text{x ist ein Bundesstaat der USA} \quad \} $$
Die Eigenschaft kann in mathematischer Form formuliert werden.
$$ A = \{x~|~-5 < x < 3\} $$
gesprochen:
$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A}_\text{A} \quad \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist} \quad \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller} \quad \underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x} \quad \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:} \quad \underbrace{\vphantom{\vert} - 5 < x < 3}_\text{x ist größer als -5 und kleiner als 3} \quad \} $$
Welche Schreibweise ist besser?
Diese Frage lässt sich leider nicht eindeutig beantworten. Welche Mengenschreibweise man im konkreten Fall verwendet, hängt von der jeweiligen Aufgabenstellung ab.
Als Praxistipp lässt sich aber Folgendes sagen:
- Handelt es sich um eine endliche Menge mit wenigen Elementen, eignet sich die aufzählende Mengenschreibweise besser.
- Handelt es sich um eine endliche Menge mit sehr vielen Elementen oder um eine unendliche Menge, eignet sich die beschreibende Mengenschreibweise besser.
