Mengen­verknüpfungen

In diesem Kapitel schauen wir uns alle Arten von Mengenverknüpfungen an.

Arten 

Wir wissen, dass wir Zahlen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Mengen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Mengen mathematische Operationen anwenden. Durch diese sog. Mengenverknüpfungen werden aus gegebenen Mengen auf verschiedene Weise neue Mengen gebildet.

Der mathematische Fachbegriff für Mengenverknüpfungen ist Mengenoperationen.

Beispiele 

Im Folgenden schauen wir uns für jede Art von Mengenverknüpfung ein Beispiel an.

Aufgabenstellung

$A$ ist die Menge aller meiner Freunde, die im Sportverein angemeldet sind:
$$ A = \{\text{David}, \text{Johanna}, \text{Mark}, \text{Robert}\} $$

$B$ ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen:
$$ B = \{\text{Anna}, \text{Laura}, \text{Mark}\} $$

Vereinigungsmenge 

Frage

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet ODER* spielen ein Musikinstrument?

Anmerkung

Das oder bedeutet hier und/oder (und nicht entweder…oder).

Fragen mit entweder…oder beantwortet die symmetrische Differenz.

Antwort

$$ A \cup B = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}, {\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}\} $$

Schnittmenge 

Frage

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet UND spielen ein Musikinstrument?

Antwort

$$ A \cap B = \{{\color{green}\text{Mark}}\} $$

Differenzmenge 

Frage

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet UND spielen kein Musikinstrument?

Antwort

$$ A \setminus B = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Robert}}\} $$

Symmetrische Differenz 

Frage

Welche meiner Freunde sind ENTWEDER im Sportverein ODER spielen ein Musikinstrument?

Antwort

$$ A \bigtriangleup B = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Robert}}, {\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}\} $$

Kartesisches Produkt 

Das kartesische Produkt zweier Mengen $A$ und $B$ ist das Ergebnis, das wir erhalten, wenn wir jedes Element $a$ der Menge $A$ mit jedem Element $b$ der Menge $B$ miteinander kombinieren, jede Kombination als geordnetes Paar $(a, b)$ aufschreiben und alle geordneten Paare in einer Menge zusammenfassen. Im Unterschied zu den vorherigen Verknüpfungen erzeugt das kartesische Produkt – wie das folgende Beispiel eindrucksvoll zeigt – also ganz neue Elemente.

Gegeben

$A$ ist die Menge aller meiner männlichen Freunde:
$$ A = \{\text{David}, \text{Mark}, \text{Robert}\} $$

$B$ ist die Menge aller meiner weiblichen Freunde:
$$ B = \{\text{Anna}, \text{Johanna}, \text{Laura}\} $$

Gesucht

Auf meiner Geburtstagsfeier soll jeder Junge mit jedem Mädchen einmal tanzen.

Ich interessiere mich für die Menge aller möglichen Tanzpaare.

Lösung

$$ A \times B = \left\{ \begin{align*} &(\text{David}, \text{Anna}), (\text{David}, \text{Johanna}), (\text{David}, \text{Laura}), \\ &(\text{Mark}, \text{Anna}), (\text{Mark}, \text{Johanna}), (\text{Mark}, \text{Laura}), \\ &(\text{Robert}, \text{Anna}), (\text{Robert}, \text{Johanna}), (\text{Robert}, \text{Laura}) \end{align*} \right\} $$