Vereinigungsmenge
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Vereinigungsmenge ist.
Erforderliches Vorwissen
Einführungsbeispiel
Gegeben
$A$ ist die Menge aller meiner Freunde, die im Sportverein angemeldet sind:$$ A = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}\} $$
$B$ ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen:$$ B = \{{\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}, {\color{green}\text{Mark}}\} $$
Ein Blick auf das Mengendiagramm verrät, dass $\text{Mark}$ als einziger meiner Freunde sowohl Sportler als auch Musiker ist.
Frage
Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet ODER* spielen ein Musikinstrument?
Anmerkung
Das oder
bedeutet hier und/oder
(und nicht entweder…oder
).
Fragen mit entweder…oder
beantwortet die symmetrische Differenz.
Antwort
$$ L = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}, {\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}\} $$
$L$ enthält alle meine Freunde, die im Sportverein sind und/oder ein Musikinstrument spielen.
Mathematische Bezeichnung
Die Menge $L$ heißt Vereinigungsmenge oder Vereinigung von $A$ und $B$.
Mathematische Schreibweise
$\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0} L = {\color{naranja}A \cup B} $ (sprich: L gleich A vereinigt mit B
)
Umgang mit Elementen, die sowohl in $A$ als auch in $B$ vorkommen
Gleiche Elemente (hier: $\text{Mark}$) kommen in der Vereinungsmenge nur einmal vor, weil laut Definition einer Menge (Zusammenfassung von verschiedenen Objekten
) jedes Element in einer Menge nur einmal vorkommen darf.
Definition der Vereinigungsmenge
Seien $A$ und $B$ Mengen, dann gilt:
Die Vereinigungsmenge $A \cup B$ ist die Menge aller Elemente,
die zu $A$ oder zu $B$ oder zu beiden Mengen gehören:
$$ A \cup B = \{x \,|\, x \in A \enspace \vee \enspace x \in B\} $$
Sprechweise
$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}A \cup B}_\text{A vereinigt mit B}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \in A}_\text{x ist Element von A}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}\vee}_\text{oder}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~ \} $$
Bedeutung von $\vee$
$\vee$ ist das mathematische Symbol für das logische ODER
. In der Logik ist eine Aussage, die mit $\vee$ (oder
) verknüpft ist, wahr, wenn mindestens eine der beteiligten Aussagen wahr ist.
Mengendiagramm
Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die zu $A$ oder zu $B$ oder zu beiden Mengen gehören.
Vereinigungsmenge bestimmen
Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:
Alle Elemente der 1. Menge markieren
Alle Elemente der 2. Menge markieren, die nicht in der 1. Menge enthalten sind
Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen
Bestimme die Vereingungsmenge von
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
und
$B = \{\,\}$.
Alle Elemente der 1. Menge markieren
$$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\} $$
Alle Elemente der 2. Menge markieren, die nicht in der 1. Menge enthalten sind
$$ B = \{\,\} $$
Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen
$$ A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\} $$
Bestimme die Vereingungsmenge von
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
und
$B = \{4, 5\}$.
Alle Elemente der 1. Menge markieren
$$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\} $$
Alle Elemente der 2. Menge markieren, die nicht in der 1. Menge enthalten sind
$B = \{{\color{green}4}, {\color{green}5}\}$.
Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen
$$ A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
Bestimme die Vereingungsmenge von
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
und
$B = \{3, 4, 5\}$.
Alle Elemente der 1. Menge markieren
$$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\} $$
Alle Elemente der 2. Menge markieren, die nicht in der 1. Menge enthalten sind
$B = \{3, {\color{green}4}, {\color{green}5}\}$.
Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen
$$ A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
Bestimme die Vereingungsmenge von
$$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$
und
$B = \{4, 5\}$.
Alle Elemente der 1. Menge markieren
$$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
Alle Elemente der 2. Menge markieren, die nicht in der 1. Menge enthalten sind
$$ B = \{4, 5\} $$
Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen
$$ A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
Bestimme die Vereingungsmenge von
$$ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$
und
$B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
Alle Elemente der 1. Menge markieren
$$ A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
Alle Elemente der 2. Menge markieren, die nicht in der 1. Menge enthalten sind
$$ B = \{1, 2, 3, 4, 5\} $$
Markierte Elemente in einer neuen Menge zusammenfassen
$$ A \cup B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{green}4}, {\color{green}5}\} $$
