Mengenlehre
In diesem Kapitel schauen wir uns die Grundlagen der Mengenlehre an.
Definition
Umgangssprachlich versteht man unter einer Menge von Dingen immer viele Dinge.
- Im Fußballstadion sind eine Menge Zuschauer.
- Im Kino wurde heute eine Menge Eintrittskarten verkauft.
- Am Skateplatz ist stets eine Menge Jugendlicher.
In der Mathematik ist eine Menge jedoch anders definiert:
Jede Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamtheit heißt Menge.
Die Objekte, die zu einer Menge gehören, nennt man die Elemente der Menge.
Schreibweisen in der Mengenlehre
Im Folgenden lernen wir zwei Möglichkeiten kennen, Mengen in mathematischer Schreibweise aufzuschreiben:
Aufzählende Mengenschreibweise
Bei der aufzählenden Schreibweise werden die Elemente zwischen geschweifte Klammern gesetzt und durch Kommas oder Semikolons getrennt:
$$ M = \{\text{Element 1}, \text{Element 2}, \text{Element 3}, \dots\} $$
Beschreibende Mengenschreibweise
Bei der beschreibenden Schreibweise werden die Elemente durch die Angabe von charakterisierenden Eigenschaften beschrieben:
$$ M = \{ x~|~x \text{ besitzt die Eigenschaften } E_1, E_2, \dots, E_n\} $$
$$ A = \{x~|~-5 < x < 3\} $$
Die Menge $A$ besteht aus den Elementen $x$, für die $-5 < x < 3$ gilt.
Veranschaulichung von Mengen
Mengen werden gewöhnlich mithilfe sog. Mengendiagramme
dargestellt. Dabei handelt es sich um Kreise (oder Ellipsen), in deren Inneren sich die Elemente der betrachteten Mengen befinden. Alles, was sich außerhalb eines Kreises befindet, gehört nicht zu dieser Menge.
Vergleich von Mengen
Möchte man zwei Mengen vergleichen, kann man sich entweder auf die Anzahl der Elemente (Mächtigkeit) beschränken oder untersuchen, ob die Mengen identisch sind.
Mächtigkeit einer Menge
Die Anzahl der Elemente einer Menge $A$ heißt Mächtigkeit $|\boldsymbol{A}|$ der Menge.
Besitzen die beiden Mengen $A = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ und $B = \{a, b, c, d\}$ die gleiche Mächtigkeit?
Die Menge $A$ besitzt $5$ Elemente, weshalb ihre Mächtigkeit gleich $5$ ist: $|A| = 5$. Die Menge $B$ besitzt hingegen $4$ Elemente, weshalb ihre Mächtigkeit gleich $4$ ist: $|B| = 4$. Da $|A|$ und $|B|$ nicht gleich sind, sind $A$ und $B$ nicht gleich mächtig.
Gleichheit von Mengen
Zwei Mengen $A$ und $B$ heißen gleich ($A = B$), wenn jedes Element von $A$ auch Element von $B$ ist und umgekehrt.
Sind die beiden Mengen $A = \{2, 6, 4, 8, 0\}$ und $B = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ gleich?
Da jedes Element von $A$ auch Element von $B$ ist (und umgekehrt), sind die beiden Mengen identisch. Wie bereits erwähnt, spielt die unterschiedliche Anordnung von Elementen bei der Betrachtung von Mengen keine Rolle.
Verhältnis zweier Mengen
Teilmenge
Eine Menge $A$ heißt Teilmenge einer Menge $B$, wenn jedes Element von $A$ auch zur Menge $B$ gehört.
Schnittmenge
Die Schnittmenge zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören.
Vereinigungsmenge
Die Vereinigungsmenge zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller Elemente, die zu $A$ oder zu $B$ oder zu beiden Mengen gehören.
Differenzmenge
Die Differenzmenge zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller Elemente, die zu $A$, nicht aber zu $B$ gehören.
Symmetrische Differenz
Die symmetrische Differenz zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller Elemente, die zu $A$ oder zu $B$, nicht aber zu beiden Mengen gehören.
Komplement
Das Komplement einer Menge $B$ ist die Menge aller Elemente, die nicht zu $B$ gehören.
Komplement bezüglich einer Grundmenge
Das Komplement von $B$ bezüglich $A$ ist die Menge aller Elemente von $A$, die nicht zu $B$ gehören.
Mehr zum Thema Mengenlehre
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
| Mengenschreibweise | |
| Leere Menge | $\emptyset$ $= \text{Menge, die keine Elemente enthält}$ |
| Mächtigkeit | $|A|$ $= \text{Anzahl der Elemente von } A$ |
| Potenzmenge | $\mathcal{P}(A)$ $:= \{X~|~X \subseteq A\}$ |
| Mengenbeziehungen | |
| Gleichheit von Mengen | $A = B$ $:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)$ |
| Teilmenge | $A \subseteq B$ $:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)$ |
| Disjunkte Mengen | $A \cap B = \emptyset$ $= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}$ |
| Mengenverknüpfungen | |
| Vereinigungsmenge | $A \cup B$ $:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}$ |
| Schnittmenge | $A \cap B$ $:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}$ |
| Differenzmenge | $A \setminus B$ $:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}$ |
| - Komplement | $\bar{A}_B$ $:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}$ |
| Symmetrische Differenz | $A \bigtriangleup B$ $:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}$ |
| Kartesisches Produkt | $A \times B$ $:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}$ |
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen $:=$ spricht man ist definitionsgemäß gleich
. Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.
