Komplement

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was das Komplement einer Menge ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Einführungsbeispiel

Gegeben

$A$ ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen:
$A = {Anna, Laura, Mark}$

$B$ ist die Menge aller meiner Freunde:
$B = {Anna, David, Johanna, Laura, Mark, Robert}$

Beobachtung

$A$ ist (echte) Teilmenge von $B$ .

0,0

Freunde

Musiker

David

Johanna

Robert

Anna

Mark

Laura

Abb. 1

Frage

Welche meiner Freunde spielen kein Musikinstrument?

Antwort

$L = {David, Johanna, Robert}$

$L$ enthält alle meine Freunde, die kein Musikinstrument spielen.

Mathematische Bezeichnung

Die Menge $L$ heißt Komplementärmenge oder Komplement von $A$ bezüglich $B$ .

Mathematische Schreibweise

$L = {\bar{A}}_{B}$ (sprich: „L gleich Komplement von A bezüglich B“)

Definition

Ist $A$ eine Teilmenge von $B$ , dann heißt die Menge aller Elemente, die zu $B$ , aber nicht zu $A$ gehören, auch Komplement von $A$ bzgl. $B$ :

${\bar{A}}_{B} = {x | x \in B \land x \notin A}$

Sprechweise

Das Komplement von A bezüglich B…

${\bar{A}}_{B} \underset{ist}{\underset{⏟}{=}} \underset{die Menge aller}{\underset{⏟}{{}} \underset{x}{\underset{⏟}{x}} \underset{für die gilt:}{\underset{⏟}{|}} \underset{x ist Element von B}{\underset{⏟}{x \in B}} \underset{und}{\underset{⏟}{\land}} \underset{x ist nicht Element von A}{\underset{⏟}{x \notin A}}}$

Bedeutung von $\land$

$\land$ ist das mathematische Symbol für das „logische UND“. In der Logik ist eine Aussage, die mit $\land$ („und“) verknüpft ist, wahr, wenn beide der beteiligten Aussagen wahr sind.

Mengendiagramm

Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die zu $B$ , aber nicht zu $A$ gehören.

0,0

B

A

Abb. 2

Verhältnis zur Differenzmenge

Das Komplement (die Komplementärmenge) ist ein Spezialfall der Differenzmenge:

Wenn $A$ Teilmenge von $B$ ist, wird die Differenzmenge $B ∖ A$ auch Komplement von $A$ bzgl. $B$ genannt:

${\bar{A}}_{B} = B ∖ A = {x | x \in B \land x \notin A}$

Offensichtlich ist jede Komplementärmenge auch eine Differenzmenge, eine Differenzmenge muss jedoch keine Komplementärmenge sein. Differenzmenge ist der allgemeinere Begriff.

Vereinfachte Schreibweise

Ist die Menge $B$ aus dem Zusammenhang heraus offenbar, so können wir auch schreiben:

Die Menge aller Elemente, die nicht zu $A$ gehören, heißt Komplement von $A$ .

$\bar{A} = {x | x \notin A}$

Komplement bestimmen

Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:

Lösungsverfahren ( $A \subseteq B$ )

Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ vorkommen, streichen

Nicht durchgestrichene Elemente von $B$ in neuer Menge zusammenfassen

Beispiel 1

Bestimme das Komplement von $A = {4, 5}$ bzgl. $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ .

Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ vorkommen, streichen

$A = {4, 5}$
$B = {1, 2, 3, 4, 5}$

Nicht durchgestrichene Elemente von $B$ in neuer Menge zusammenfassen

${\bar{A}}_{B} = B ∖ A = {1, 2, 3}$

${\bar{A}}_{B}$ ist die Menge aller Elemente von $B$ , die nicht in $A$ enthalten sind.