Potenzgesetze

Um mit Potenzen rechnen zu können, müssen wir die Potenzgesetze beherrschen.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Was ist eine Potenz?

Was ist eine Potenz?

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für die wiederholte Multiplikation eines Faktors:

$$ \underbrace{x \cdot x \cdot \,\dots\, \cdot x}_{n \text{ Faktoren}} = x^n $$

Dabei ist $\boldsymbol{x}$ die Basis und $\boldsymbol{n}$ der Exponent der Potenz $\boldsymbol{x^n}$ (sprich: x hoch n).

Beispiel 1

$$ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 $$

Beispiel 2

$$ 3 \cdot 3 = 3^2 $$

Potenzgesetze im Überblick

Im Folgenden werden alle Potenzgesetze mithilfe von Beispielen vorgestellt.

Gleiche Basis

Multiplikation mit gleicher Basis

$$ x^a \cdot x^b = x^{a+b} $$

In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.

Beispiel 3

$$ 2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 $$

Beispiel 4

$$ 5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^6 = 5^{2+3+6} = 5^{11} $$

Division mit gleicher Basis

$$ x^a : x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

Beispiel 5

$$ \frac{2^4}{2^2} = 2^{4-2} = 2^2 $$

Beispiel 6

$$ \frac{5^3}{5^4} = 5^{3-4} = 5^{-1} $$

Potenzen potenzieren

$$ \left(x^a\right)^b = x^{a \cdot b} $$

In Worten: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

Beispiel 7

$$ \left(3^2\right)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 $$

Beispiel 8

$$ \left(5^3\right)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^9 $$

Gleicher Exponent

Multiplikation mit gleichem Exponenten

$$ a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n $$

In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

Vorteil ist, dass man auf diese Weise nur noch einmal – anstatt zweimal – potenzieren muss, was in vielen Fällen einiges an Schreibarbeit spart.

Beispiel 9

$$ 2^4 \cdot 3^4 = \left(2 \cdot 3\right)^4 $$

Beispiel 10

$$ 4^3 \cdot 5^3 = \left(4 \cdot 5\right)^3 $$

Division mit gleichem Exponenten

$$ a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n $$

In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

Vorteil ist, dass man auf diese Weise nur noch einmal – anstatt zweimal – potenzieren muss, was in vielen Fällen einiges an Schreibarbeit spart.

Beispiel 11

$$ 3^2 : 4^2 = \frac{3^2}{4^2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 $$

Beispiel 12

$$ 8^5 : 4^5 = \frac{8^5}{4^5} = \left(\frac{8}{4}\right)^5 $$

Negative Zahlen potenzieren

Für Potenzen mit negativen Basen merken wir uns folgende Regeln:

Ist der Exponent gerade, verschwindet das negative Vorzeichen.
Ist der Exponent ungerade, bleibt das negative Vorzeichen.

Warum das so ist? Ganz einfach: Minus mal Minus ergibt Plus.

Beispiel 13

$$ (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4 = 2^2 $$

Beispiel 14

$$ (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $$

Die Klammern dürfen nicht vergessen werden!

$$ -2^2 \neq (-2)^2 $$

Das negative Vorzeichen in $-2^2$ gehört zur ganzen Potenz und nicht nur zur Basis. Deshalb gilt: $-2^2 = -4$ , denn wir könnten dafür ja auch $(-1) \cdot 2^2 = -4$ schreiben. Leider halten sich nicht alle Taschenrechner an diese Regel. Berechne jetzt mit deinem Taschenrechner $-2^2$ und $(-2)^2$ und vergleiche die Ergebnisse.

Besondere Exponenten

Exponent = 0

$$ x^0 = 1 $$

Beispiel 15

$$ 5^0 = 1 $$

Beispiel 16

$$ (-7)^0 = 1 $$

Negative Exponenten

$$ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $$

Beispiel 17

$$ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} $$

Beispiel 18

$$ 5^{-7} = \frac{1}{5^7} $$

Brüche als Exponenten

$$ x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x} $$

Beispiel 19

$$ 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3} = \sqrt{3} $$

Beispiel 20

$$ 3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3} $$

$$ x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} $$

Beispiel 21

$$ 2^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{2^4} $$

Beispiel 22

$$ 2^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{2^5} $$

$$ x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}} $$

Beispiel 23

$$ 2^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}} $$

Beispiel 24

$$ 2^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^5}} $$

Im Kapitel Wurzeln erfährst du mehr über Potenzen mit Brüchen als Exponenten.