Potenzen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Potenzen sind.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für die wiederholte Multiplikation eines Faktors:

$$ x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n = x^n $$

Bezeichnungen

$x^n$ (sprich: x hoch n) heißt Potenz.
Das $x$ in $x^n$ heißt die Basis (seltener: Grundzahl) der Potenz.
Das $n$ in $x^n$ heißt der Exponent (seltener: Hochzahl) der Potenz.

Beispiel 1

$$ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 $$

Beispiel 2

$$ 3 \cdot 3 = 3^2 $$

Beispiel 3

$$ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5 $$

Potenzen mit besonderen Exponenten

Potenzen haben in Abhängigkeit ihres Exponenten eine unterschiedliche Bedeutung.

Potenzen mit natürlichem Exponenten

Ist der Exponent eine natürliche Zahl, so gilt:

$$ x^n = x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n $$

Beispiel 4

$$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$

Beispiel 5

$$ 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 $$

Potenzen mit ganzem Exponenten

Ist der Exponent eine ganze Zahl, so gilt:

$$ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $$

Beispiel 6

$$ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{8} $$

Beispiel 7

$$ 3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{243} $$

Potenzen mit rationalem Exponenten

Ist der Exponent eine rationale Zahl, so gilt:

$$ x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x} $$

Beispiel 8

$$ 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3} = \sqrt{3} $$

Beispiel 9

$$ 3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3} $$

$$ x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} $$

Beispiel 10

$$ 2^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{2^4} $$

Beispiel 11

$$ 2^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{2^5} $$

$$ x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}} $$

Beispiel 12

$$ 2^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}} $$

Beispiel 13

$$ 2^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^5}} $$

Mit Potenzen rechnen

Im Zusammenhang mit Potenzen sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:


Potenzgesetze	Alle Potenzgesetze im Überblick!
Potenzen addieren	$ax^n + bx^n = (a+b)x^n$
Potenzen subtrahieren	$ax^n - bx^n = (a-b)x^n$
Potenzen multiplizieren	gleiche Basis $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ gleicher Exponent $a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n$
Potenzen dividieren	gleiche Basis $x^a : x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ gleicher Exponent $a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$
Potenzen potenzieren	$\left(x^a\right)^b = x^{a \cdot b}$