Leere Menge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die leere Menge ist.

Definition 

Für die leere Menge sind drei Schreibweisen verbreitet:

1. $\{\,\}$ (leere Mengenklammern)
2. $\emptyset$ (ein durchgestrichenes schmales Oval)
3. $\varnothing$ (ein durchgestrichener Kreis)

Anmerkungen

Begründung
Die Menge $\{0\}$ ist die einelementige Menge der Null (also eine Menge, die die Null beinhaltet und somit nicht leer ist!). Im Gegensatz dazu besitzt $\emptyset$ keine Elemente. Die leere Menge darf also nicht mit einer Menge verwechselt werden, die nur aus dem Element Null besteht.

Begründung
Die Menge $\{\emptyset\}$ ist die einelementige Menge der leeren Menge (also eine Menge, die die leere Menge beinhaltet und somit nicht leer ist!). Im Gegensatz dazu besitzt $\emptyset$ keine Elemente.

Begründung
Zwei Mengen sind identisch, wenn sie dieselben Elemente besitzen ($\rightarrow$ Gleichheit von Mengen). Zwei leere Mengen besitzen dieselben Elemente – nämlich keine – und müssen deswegen ein- und dasselbe Objekt sein. Aus diesem Grund ist es besser von der leeren Menge statt von einer leeren Menge zu sprechen.

Eigenschaften 

Erklärung
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

Erklärung
Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge. Daraus folgt:

Erklärung
Die Potenzmenge der leeren Menge enthält genau ein Element (die leere Menge selbst).

Erklärung
Die Schnittmenge der leeren Menge mit einer beliebigen Menge $A$ ist die leere Menge.

Erklärung
Die Vereinigungsmenge der leeren Menge mit einer beliebigen Menge $A$ ist die Menge $A$.

Erklärung
Das kartesische Produkt der leeren Menge mit einer beliebigen Menge $A$ ist die leere Menge.