Potenzmenge
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Potenzmenge einer Menge ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Die Menge aller Teilmengen von $A$ heißt Potenzmenge $\boldsymbol{\mathcal{P}(A)}$:
$$ \mathcal{P}(A) = \{X~|~X \subseteq A\} $$
Übersetzt bedeutet obige Formel:
$$ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\mathcal{P}(A)}_\text{Die Potenzmenge von A}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~ \underbrace{\vphantom{\big \vert}X}_\text{X}~ \underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~ \underbrace{\vphantom{\vert}X \subseteq A}_\text{X ist Teilmenge von A}~~ \} $$
Potenzmenge bestimmen
Bestimme die Potenzmenge der Menge
heißt übersetzt $A$Bestimme alle Teilmengen von
.$A$
Zu den Teilmengen von $A$ gehört stets auch die leere Menge sowie die Menge $A$ selbst.
Bestimme die Potenzmenge der Menge $A = \{a,b\}$.
Welche Teilmengen gibt es?
- Teilmenge 1:
$\{\,\}$(die leere Menge) - Teilmenge 2:
$\{a\}$ - Teilmenge 3:
$\{b\}$ - Teilmenge 4:
$\{a, b\}$(die Menge$A$selbst)
Die Potenzmenge der Menge $A$ ist somit
$$ \mathcal{P}(A)= \{\{\,\}, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $$
Bestimme die Potenzmenge der Menge $B = \{1, 2, 3\}$.
Welche Teilmengen gibt es?
- Teilmenge 1:
$\{\,\}$(die leere Menge) - Teilmenge 2:
$\{1\}$ - Teilmenge 3:
$\{2\}$ - Teilmenge 4:
$\{3\}$ - Teilmenge 5:
$\{1, 2\}$ - Teilmenge 6:
$\{1, 3\}$ - Teilmenge 7:
$\{2, 3\}$ - Teilmenge 8:
$\{1, 2, 3\}$(die Menge$B$selbst)
Die Potenzmenge der Menge $B$ ist somit
$$ \mathcal{P}(B)= \{\{\,\}, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\} $$
Mächtigkeit der Potenzmenge
Aus dem letzten Kapitel wissen wir, dass man unter der Mächtigkeit einer Menge die Anzahl der Elemente dieser Menge versteht. Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge können wir mithilfe einer einfachen Formel berechnen:
Formel für die Berechnung der Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge
$$ |\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|} $$
Dabei ist $|\mathcal{P}(A)|$ die Mächtigkeit der Potenzmenge von $A$, $|A|$ die Mächtigkeit der Menge $A$ und $2^{|A|}$ eine Potenz.
Berechne die Mächtigkeit der Potenzmenge der Menge $A = \{a, b\}$.
Mächtigkeit der Menge
$$ |A| = 2 $$
Mächtigkeit der Potenzmenge
$$ |\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|} = 2^2 = 4 $$
Anmerkung
$$ \mathcal{P}(A)= \{\{\,\}, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $$
