Vektorsubtraktion
In diesem Kapitel schauen wir uns die Vektorsubtraktion an.
Erforderliches Vorwissen
Voraussetzung
Vektoren lassen sich nur dann subtrahieren, wenn sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.
Es gibt zwei Arten von Vektoren: Spaltenvektoren und Zeilenvektoren. Im Schulunterricht kommen in der Regel ausschließlich Spaltenvektoren vor.
Ist eine Subtraktion von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b\end{pmatrix}$ möglich?
Eine Subtraktion von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist möglich,
da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.
Ist eine Subtraktion von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}$ möglich?
Eine Subtraktion von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist nicht möglich,
da sie zwar gleicher Art, aber nicht gleicher Dimension sind.
Ist eine Subtraktion von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix}$ möglich?
Eine Subtraktion von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist möglich,
da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.
Ist eine Subtraktion von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b & y_b & z_b \end{pmatrix}$ möglich?
Eine Subtraktion von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist nicht möglich,
da sie zwar gleicher Dimension, aber nicht gleicher Art sind.
(Hinweis: Vektor $\vec{a}$ ist ein Spaltenvektor, Vektor $\vec{b}$ ein Zeilenvektor)
Ist eine Subtraktion von $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_a & y_a & z_a \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} x_b & y_b & z_b \end{pmatrix}$ möglich?
Eine Subtraktion von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist möglich,
da sie gleicher Dimension und gleicher Art sind.
Vektoren rechnerisch subtrahieren
Vektoren werden subtrahiert, indem man ihre Komponenten subtrahiert:
$$ \vec{a}-\vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x_b \\ y_b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_a-x_b \\ y_a-y_b\end{pmatrix} $$
Vektoren höherer Dimension werden nach demselben Prinzip subtrahiert.
Berechne $\begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}$.
$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 3-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Berechne $\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.
$$ \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-1 \\ 5-2 \\ 4-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Vektoren graphisch subtrahieren
Gegeben sind die beiden Vektoren
$$ \vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \qquad \vec{q}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}; $$
Berechne $\vec{p} - \vec{q}$ graphisch.
Jetzt müssen wir den Vektor $-\vec{q}$ bestimmen:
$\vec{q}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$
$-\vec{q}=\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$
Graphisch subtrahiert man zwei Vektoren, indem man den zweiten Vektor an der Spitze des ersten Vektors beginnen lässt, wobei die Koordinaten des zweiten Vektors aufgrund des negativen Vorzeichen vorher umgedreht werden.
