Linearkombination
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Linearkombination ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Ein Vektor, der sich durch gegebene Vektoren unter Verwendung der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation ausdrücken lässt, heißt Linearkombination:
$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} + \dots + \lambda_n \vec{a_n} $$
$\vec{v}$ ist die Linearkombination der gegebenen Vektoren $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \dots, \vec{a_n}$, wobei $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ Skalare (reelle Zahlen) sind.
Algebraische Betrachtung
Berechne zwei Linearkombinationen der Vektoren $\vec{a_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec{a_2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$.
Wir denken uns beliebige Zahlen aus, mit denen wir die beiden Vektoren multiplizieren. Im Anschluss daran addieren wir die Vektoren. Auf diese Weise erhalten wir eine Linearkombination der beiden Vektoren.
$$ \vec{v_1} = 2 \cdot \vec{a_1} + 3 \cdot \vec{a_2} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 6 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v_2} = 3 \cdot \vec{a_1} - 1 \cdot \vec{a_2} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \end{pmatrix} $$
Geometrische Betrachtung
Wir verwenden hier dieselben beiden Vektoren wie in dem obigen Beispiel und betrachten die folgende Linearkombination:
$$ \vec{v} = 1 \cdot \vec{a_1} + 0{,}5 \cdot \vec{a_2} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} $$
