Trigonometrie
Dieses Kapitel dient als Einführung in die Trigonometrie.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Das Wort Trigonometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet Dreiecksmessung.
Die Grundaufgabe der Trigonometrie besteht darin, aus den gegebenen Größen eines Dreiecks (z. B. Seitenlängen, Winkel usw.) andere Größen dieses Dreiecks zu berechnen.
Wiederholung
Dreiecke
Die Ecken des Dreiecks werden mit Großbuchstaben ($A$, $B$, $C$) gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.
Die Seiten des Dreiecks werden mit Kleinbuchstaben ($a$, $b$, $c$) beschriftet. Dabei liegt die Seite $a$ gegenüber dem Eckpunkt $A$…
Die Winkel des Dreiecks werden mit griechischen Buchstaben beschriftet. Dabei befindet sich der Winkel $\alpha$ beim Eckpunkt $A$…
Satzgruppe des Pythagoras
Der Satz von Pythagoras, der Kathetensatz sowie der Höhensatz eignen sich ebenfalls zum Berechnen von fehlenden Größen eines Dreiecks. Wieso brauchen wir dann überhaupt die Trigonometrie?
Der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz und der Höhensatz treffen lediglich Aussagen über die Längen in einem rechtwinkligen Dreieck. Mithilfe der Trigonometrie können wir jedoch auch Winkel in die Berechnung mit einbeziehen.
Praktische Anwendungen
Wir haben bisher besprochen, dass wir mithilfe der Trigonometrie – vereinfacht gesagt – fehlende (d. h. noch unbekannte) Größen eines Dreiecks berechnen können. Doch welche praktische Bedeutung hat das?
Im Laufe der Jahrhunderte spielte die Trigonometrie vor allem in der Astronomie, der Vermessungskunde sowie der Navigation (z. B. von Schiffen) eine Rolle. Noch heute kommt ihr eine große Bedeutung zu, auch wenn die eigentliche Berechnung meist der Computer übernimmt.
Das Hauptproblem bestand meist darin, nicht direkt messbare Entfernungen zu berechnen.
Eine nicht direkt messbare Entfernung ist zum Beispiel die Höhe eines Gebäudes. Um diese Höhe zu bestimmen, genügt es, die Entfernung vom Beobachtungspunkt zum Fußpunkt des Gebäudes zu kennen und den Winkel zwischen ihm und der Spitze des Bauwerks zu messen. Mithilfe dieser beiden Größen und einigen trigonometrischen Kenntnissen lässt sich dann leicht, die Höhe des Gebäudes berechnen.
Trigonometrie: Die Winkelfunktionen
Im ersten Abschnitt dieses Kapitel haben wir uns mit der theoretischen Seite der Trigonometrie beschäftigt. Es wird Zeit, dass wir endlich praktische Berechnungen durchführen. Dazu müssen wir uns mit den Winkelfunktionen auseinandersetzen. Die Winkelfunktionen (auch trigonometrische Funktionen genannt) sind das mathematische Fundament auf dem die Trigonometrie aufgebaut ist.
Die Trigonometrie ist die Lehre von der Dreiecksberechnung mithilfe von Winkelfunktionen.
Um den Rahmen dieses Kapitels nicht zu sprengen, behandeln wir die Winkelfunktionen in einem eigenen, ausführlichen Kapitel.
Mehr zur Trigonometrie
In den folgenden Kapiteln findest du mehr Informationen zur Trigonometrie.
| Grundlagen | |
| Winkelfunktionen | |
| Einheitskreis | |
| Winkelfunktionen | |
| Sinus | $\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ |
| Cosinus | $\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ |
| Tangens | $\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ |
| Kehrwerte | |
| Cosekans | $\csc \alpha = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{1}{\sin \alpha}$ |
| Sekans | $\sec \alpha = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}} \phantom{1\:} = \frac{1}{\cos \alpha}$ |
| Cotangens | $\cot \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}= \frac{1}{\tan \alpha}$ |
