Cosinus
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Cosinus versteht.
In der Schule definiert man den Cosinus erst im rechtwinkligen Dreieck für Winkel zwischen $\boldsymbol{0^\circ}$ und $\boldsymbol{90^\circ}$.
Danach wird die Definition mithilfe des Einheitskreises auf alle Winkel erweitert.
Erforderliches Vorwissen
Definition im rechtwinkligen Dreieck
Der Cosinus ist eine Winkelfunktion.
Winkelfunktionen sind definiert als das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck.
Ein Verhältnis entspricht in der Mathematik dem Quotienten zweier Größen.
Die Abbildung soll bei der Definition des Cosinus helfen.
Es gilt:
Die Seite $b$ ist die Ankathete zu $\alpha$.
Die Seite $a$ ist die Gegenkathete zu $\alpha$.
Die Seite $c$ ist die Hypotenuse.
Mehr über diese Begriffe erfährst du im Kapitel zu den rechtwinkligen Dreiecken.
Der Cosinus des Winkels $\alpha$ entspricht dem Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse:
$$ \cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c} $$
Im rechtwinkligen Dreieck können wir nur zeigen, dass der Cosinus für Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ definiert ist. Um diese Definition zu erweitern, betrachten wir den Cosinus im Einheitskreis.
Definition im Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Radius die Länge $1$ hat und dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
Danach zeichnen wir den Winkel ein, der zwischen der $x$-Achse und der Gerade durch Koordinatenursprung und dem Punkt $P$ verläuft.
Es stellt sich die Frage, welchen Wert der Cosinus dieses Winkels annimmt.
Wenn wir den Punkt $P$ senkrecht mit der $x$-Achse verbinden (gestrichelte Linie), erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses hilft uns dabei, den Cosinus des Winkels zu bestimmen.
Zur Verdeutlichung haben wir die Hypotenuse und die Ankathete des Winkels $\alpha$ in der Zeichnung beschriftet.
Wir wissen bereits, dass gilt:
$$ \cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} $$
…aber wie hilft uns das jetzt weiter?
In der Abbildung ist schön zu erkennen, dass die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks dem Radius des Kreises entspricht.
Der Einheitskreis hat laut Definition einen Radius von $1$. Daraus folgt:
$$ \cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} =\frac{\text{Ankathete}}{1} =\text{Ankathete} $$
…und welche Länge hat jetzt die Ankathete?
Die Länge der Ankathete entspricht der $x$-Koordinate des Punktes $P$.
Unter dem Cosinus eines beliebigen Winkels $\alpha$ versteht man die $\boldsymbol{x}$-Koordinate des zu $\alpha$ gehörenden Punktes $P$ auf dem Einheitskreis.
Wir haben den Cosinus zunächst nur über rechtwinklige Dreiecke definiert, weshalb sich unsere Betrachtung auf Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ beschränkte. Mithilfe des Einheitskreises lässt sich jedoch zeigen, dass der Cosinus für jeden beliebigen (positiven und negativen) Winkel definiert ist. Um das zu veranschaulichen, musst du nur irgendeinen Winkel (z. B. $450^\circ$ oder $-60^\circ$) in den Einheitskreis einzeichnen und die $x$-Koordinate des Punktes $P$ ablesen.
Cosinus berechnen
Um Cosinuswerte mithilfe deines Taschenrechners zu berechnen, spielt es keine Rolle, ob die Winkel im Gradmaß (z. B. $90^\circ$) oder im Bogenmaß (z. B. $\frac{\pi}{2}$) gegeben sind. Wichtig ist nur, dass du in das Setup deines Taschenrechner gehst und dort die richtige Einstellung wählst:
DEG (engl. degree) steht für das Gradmaß, RAD (engl. radian) für das Bogenmaß.
Die folgende Tabelle zeigt einige wichtige Kosinuswerte:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \alpha & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\ & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\ \hline \cos \alpha & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \\ \hline &&&&&&&&& \\ &&&&&&&&& \\ \hline \alpha & 180^\circ & 210^\circ & 225^\circ & 240^\circ & 270^\circ & 300^\circ & 315^\circ & 330^\circ & 360^\circ \\ & {\color{gray}0\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}\!+\!\pi} & {\color{gray}\pi\!+\!\pi} \\ \hline \cos \alpha & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{array} $$
In der obigen Tabelle können wir einige interessante Eigenschaften beobachten:
$$ \cos(\alpha + 180^\circ) = \cos(\alpha + \pi) = -\cos \alpha $$
$$ \cos(\alpha + 360^\circ) = \cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha $$
Aus bekannten oder gegebenen Kosinuswerten können wir also weitere Werte berechnen.
