Winkelfunktionen
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Winkelfunktionen. Sie sind das mathematische Fundament auf dem die Trigonometrie aufgebaut ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Die Trigonometrie ist die Lehre von der Dreiecksberechnung mithilfe von Winkelfunktionen.
In der Fachsprache bezeichnet man die Winkelfunktionen auch als trigonometrische Funktionen.
Da sich in der Trigonometrie alles um Dreiecke dreht, sollten wir an dieser Stelle noch einmal einige Begriffe wiederholen.
Wiederholung: Dreiecke
Die Ecken des Dreiecks werden mit Großbuchstaben ($A$, $B$, $C$) gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.
Die Seiten des Dreiecks werden mit Kleinbuchstaben ($a$, $b$, $c$) beschriftet. Dabei liegt die Seite $a$ gegenüber dem Eckpunkt $A$…
Die Winkel des Dreiecks werden mit griechischen Buchstaben beschriftet. Dabei befindet sich der Winkel $\alpha$ beim Eckpunkt $A$…
Ein Dreieck mit einem rechten Winkel (= $90^\circ$) heißt rechtwinkliges Dreieck.
Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkliges Dreiecks. Sie liegt stets gegenüber dem rechten Winkel.
Als Kathete bezeichnet man jede der beiden kürzeren Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Diese beiden Seiten bilden den rechten Winkel.
Um die beiden Katheten einzeln ansprechen zu können, haben sich im Laufe der Zeit die beiden Begriffe Ankathete
und Gegenkathete
herausgebildet.
Welche der beiden kürzeren Seiten eines rechtwinkliges Dreiecks die Ankathete bzw. die Gegenkathete ist, hängt davon ab, auf welchen der beiden spitzen Winkeln ($< 90^\circ$) wir uns beziehen.
Ist der Winkel $\alpha$ im Fokus der Betrachtung, so kann man sagen:
Die dem Winkel $\alpha$ anliegende Kathete heißt Ankathete.
Die dem Winkel $\alpha$ gegenüberliegende Kathete heißt Gegenkathete.
Ist der Winkel $\beta$ im Fokus der Betrachtung, so kann man sagen:
Die dem Winkel $\beta$ anliegende Kathete heißt Ankathete.
Die dem Winkel $\beta$ gegenüberliegende Kathete heißt Gegenkathete.
Merke
- Die dem Winkel anliegende Kathete heißt Ankathete.
- Die dem Winkel gegenüberliegende Kathete heißt Gegenkathete.
Mit diesem Wissen können wir nun die Winkelfunktionen genauer beschreiben.
Winkelfunktionen sind definiert als das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck.
Du wirst dich zu Recht fragen, was man sich unter dem Verhältnis zweier Seiten
vorstellen kann. In der Mathematik versteht man unter dem Verhältnis nichts anderes als den Quotienten zweier Zahlen. In diesem Fall werden also die Längen zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks geteilt.
Die drei elementaren Winkelfunktionen heißen Sinus, Cosinus und Tangens.
Die Abbildung soll bei der Definition der Winkelfunktionen helfen. Dabei steht der Winkel $\alpha$ im Zentrum der Betrachtung.
Es gilt:
Die Seite $b$ ist die Ankathete zu $\alpha$.
Die Seite $a$ ist die Gegenkathete zu $\alpha$.
Die Seite $c$ ist die Hypotenuse.
Der Sinus des Winkels $\alpha$ entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse:
$$ \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c} $$
Der Cosinus des Winkels $\alpha$ entspricht dem Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse:
$$ \cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c} $$
Der Tangens des Winkels $\alpha$ entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete:
$$ \tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b} $$
Zu jeder der drei Winkelfunktionen gibt es einen Kehrwert.
Der Kehrwert des Tangens heißt Cotangens und entspricht dem Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:
$$ \cot \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{b}{a} $$
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt:
- Der Kehrwert von Sinus heißt Kosekans.
- Der Kehrwert von Cosinus heißt Sekans.
Da diese beiden Winkelfunktionen in der Schule gewöhnlich nicht behandelt werden, wird an dieser Stelle auch darauf verzichtet.
Merkspruch für die Winkelfunktionen
Wenn du dir gerade denkst: “Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse….ähh..wie soll ich mir das bitte alles merken?!”, dann schau dir folgende Eselsbrücke an:
Geh Heim - Altes Haus - Gib Acht - Aufs Geld
oder
Gustav Hausers - Alte Hennen - Gackern Am - Abend Gerne
$$ \rightarrow \sin - \cos - \tan - \cot $$
Letztlich sollst du dir damit merken:
- sin = G:H
- cos = A:H
- tan = G:A
- cot = A:G
Dabei steht das A für Ankathete, das G für Gegenkathete und das H für Hypotenuse.
Wenn du dir einen der obigen Sprüche sowie die Reihenfolge sin-cos-tan-cot
merkst, kann dir eigentlich nichts mehr passieren!
Bedeutung der Winkelfunktionen
Gegeben sind die drei Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks:
- Ankathete des Winkels
$\alpha$:$12\ \textrm{cm}$ - Gegenkathete des Winkels
$\alpha$:$5\ \textrm{cm}$ - Hypotenuse:
$13\ \textrm{cm}$
Der Sinus, d. h. das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, lässt sich leicht berechnen:
$$ \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{5\ \textrm{cm}}{13\ \textrm{cm}} \approx 0{,}385 $$
Jetzt wissen wir, dass der Sinus des Winkels $\alpha$ dieses Dreiecks (ungefähr) den Wert 0,385 annimmt…aber was bedeutet das? Was haben wir eigentlich gerade berechnet?
Betrachten wir noch ein zweites Beispiel. Dann wird es gleich deutlich, worauf es hinausläuft.
Gegeben sind die drei Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks:
- Ankathete des Winkels
$\alpha$:$24\ \textrm{cm}$ - Gegenkathete des Winkels
$\alpha$:$10\ \textrm{cm}$ - Hypotenuse:
$26\ \textrm{cm}$
Falls es dir nicht sofort auffällt: Die Seiten dieses Dreiecks sind doppelt so lang wie die Seiten des ersten Dreiecks. Wenn du die beiden Dreiecke zeichnen würdest, könntest du feststellen, dass sie zwar unterschiedlich groß sind, jedoch die drei Winkel jeweils übereinstimmen.
Wir berechnen wieder den Sinus, d. h. das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse:
$$ \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{10 \ \textrm{cm}}{26\ \textrm{cm}} \approx 0{,}385 $$
Obwohl die beiden betrachteten Dreiecke unterschiedlich groß sind, besitzt der Sinus des Winkels $\alpha$ denselben Wert!
Wir wissen, dass gilt: $\sin \alpha \approx 0{,}385$.
Wenn wir die Gleichung nach $\alpha$ auflösen, wissen wir wie groß der Winkel ist:
$$ \alpha = \sin^{-1}(0{,}385) \approx 22{,}64^\circ $$
Mithilfe der Winkelfunktionen kann man die Winkel eines Dreiecks berechnen, ohne auch nur einen einzigen Winkel messen zu müssen.
Hinweise zur Berechnung mit dem Taschenrechner
- Dein Taschenrechner muss auf DEG (Degree) eingestellt sein.
- Die Seitenlängen des Dreiecks (in unserem Beispiel: Gegenkathete und Hypotenuse) müssen die gleiche Einheit besitzen – z. B.
$\textrm{cm}$(Zentimeter) oder$\textrm{m}$(Meter). - Um Sinus zu berechnen (Winkel
$\alpha$ist gegeben), musst du den Winkel in Grad eingeben – z. B.$30^\circ$oder$45^\circ$. - Um den Winkel
$\alpha$zu berechnen (Sinus ist gegeben), musst du die Umkehrfunktion des Sinus$\sin^{-1}$verwenden. Dafür gibt es auf deinem Taschenrechner eine entsprechende Taste.
Im nächsten Kapitel setzen wir uns mit dem Einheitskreis auseinander. Dieser hilft dabei, die Winkelfunktionen graphisch zu veranschaulichen. Außerdem werden wir sehen, dass Winkelfunktionen für jeden beliebigen (positiven und negativen) Winkel definiert sind. Bislang haben wir ja die Winkelfunktionen nur über rechtwinklige Dreiecke definiert, weshalb sich unsere Betrachtung auf Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ beschränkt hat.
