Einheitskreis
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Einheitskreis. Dieser hilft dabei, die Winkelfunktionen zu veranschaulichen. Der Einfachheit halber beschränkt sich unsere Betrachtung auf die beiden Winkelfunktionen Sinus und Cosinus.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Der Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Radius die Länge $1$ hat und dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
Der Einheitskreis hat einen Radius von $1$.
Sein Mittelpunkt stimmt mit dem Koordinatenursprung überein.
Bevor wir uns mit dem Einheitskreis eindringlicher auseinandersetzen, sollten wir einige grundlegende Begriffe und Definitionen im Zusammenhang mit den Winkelfunktionen wiederholen.
Wiederholung: Winkelfunktionen
Winkelfunktionen sind definiert als das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck.
Du wirst dich zu Recht fragen, was man sich unter dem Verhältnis zweier Seiten
vorstellen kann. In der Mathematik versteht man unter dem Verhältnis nichts anderes als den Quotienten zweier Zahlen. In diesem Fall werden also die Längen zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks geteilt.
Die Abbildung soll bei der Definition der Winkelfunktionen helfen. Dabei steht der Winkel $\alpha$ im Zentrum der Betrachtung.
Es gilt:
Die Seite ist $b$ ist die Ankathete zu $\alpha$.
Die Seite $a$ ist die Gegenkathete zu $\alpha$.
Die Seite $c$ ist die Hypotenuse.
Mehr über diese Begriffe erfährst du im Kapitel zu den rechtwinkligen Dreiecken.
Merke
- Die dem Winkel anliegende Kathete heißt Ankathete.
- Die dem Winkel gegenüberliegende Kathete heißt Gegenkathete.
Der Sinus des Winkels $\alpha$ entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse:
$$ \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c} $$
Der Cosinus des Winkels $\alpha$ entspricht dem Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse:
$$ \cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c} $$
In den folgenden Abschnitten schauen wir uns an, wie man den Sinus und Cosinus mithilfe des Einheitskreises besser veranschaulichen kann.
Sinus im Einheitskreis
Danach zeichnen wir den Winkel ein, der zwischen der $x$-Achse und der Gerade durch Koordinatenursprung und dem Punkt $P$ verläuft.
Es stellt sich die Frage, welchen Wert der Sinus dieses Winkels annimmt.
Wenn wir den Punkt $P$ senkrecht mit der $x$-Achse verbinden (gestrichelte Linie), erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses hilft uns dabei, den Sinus des Winkels zu bestimmen.
Zur Verdeutlichung haben wir die Hypotenuse und die Gegenkathete des Winkels $\alpha$ in der Zeichnung beschriftet.
Wir wissen bereits, dass gilt:
$$ \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} $$
…aber wie hilft uns das jetzt weiter?
In der Abbildung ist schön zu erkennen, dass die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks dem Radius des Kreises entspricht.
Der Einheitskreis hat laut Definition einen Radius von $1$. Daraus folgt:
$$ \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} =\frac{\text{Gegenkathete}}{1} =\text{Gegenkathete} $$
…und welche Länge hat jetzt die Gegenkathete?
Die Länge der Gegenkathete entspricht der $y$-Koordinate des Punktes $P$.
Cosinus im Einheitskreis
Im Gegensatz zum Sinus ist beim Cosinus die Ankathete des Winkels $\alpha$ von Interesse.
Wir wissen bereits, dass gilt:
$$ \cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} $$
…aber wie hilft uns das jetzt weiter?
In der Abbildung ist schön zu erkennen, dass die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks dem Radius des Kreises entspricht.
Der Einheitskreis hat laut Definition einen Radius von $1$. Daraus folgt:
$$ \cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} =\frac{\text{Ankathete}}{1} =\text{Ankathete} $$
…und welche Länge hat jetzt die Ankathete?
Die Länge der Ankathete entspricht der $x$-Koordinate des Punktes $P$.
Sinus und Cosinus im Einheitskreis
Der Sinus des Winkels $\alpha$ lässt sich an der $y$-Koordinate des Punktes $P$ ablesen.
Der Cosinus des Winkels $\alpha$ lässt sich an der $x$-Koordinate des Punktes $P$ ablesen.
Winkelfunktionen für alle Winkel definiert
Im letzten Kapitel haben wir die Winkelfunktionen nur über rechtwinklige Dreiecke definiert, weshalb sich unsere Betrachtung auf Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ beschränkt hat. Mithilfe des Einheitskreises können wir jedoch zeigen, dass die Winkelfunktionen für jeden beliebigen (positiven und negativen) Winkel definiert sind.
Betrachten wir dazu ein Beispiel:
Der Punkt $P$ wurde so gewählt, dass er einen Winkel von $225^\circ$ Grad beschreibt.
Auch hier gilt:
Der Sinus des Winkels $\alpha$ lässt sich an der $y$-Koordinate des Punktes $P$ ablesen.
Der Cosinus des Winkels $\alpha$ lässt sich an der $x$-Koordinate des Punktes $P$ ablesen.
Interessant ist, dass in diesem Fall sowohl Sinus als auch Cosinus negativ Werte annehmen.
Das lässt sich leicht mithilfe des Taschenrechners überprüfen:
$$ \sin(225) \approx -0{,}7071 $$
$$ \cos(225) \approx -0{,}7071 $$
Durch die neuen Erkenntnisse im Zusammenhang mit dem Einheitskreis wird eine Überarbeitung unserer bisherigen Definition der Winkelfunktionen (Verhältnis zweier Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck
) fällig.
Unter dem Sinus eines beliebigen Winkels $\alpha$ versteht man die $\boldsymbol{y}$-Koordinate des zu $\alpha$ gehörenden Punktes $P$ auf dem Einheitskreis.
Unter dem Cosinus eines beliebigen Winkels $\alpha$ versteht man die $\boldsymbol{x}$-Koordinate des zu $\alpha$ gehörenden Punktes $P$ auf dem Einheitskreis.
So weit, so gut. Einige Fragen bleiben aber noch:
Muss es denn der Einheitskreis sein?
Ja! Wenn wir einen Kreis mit einem anderen Radius als $1$ verwenden, lassen sich Sinus und Cosinus nicht mehr an der $y$- bzw. an der $x$-Koordinate des Punktes $P$ ablesen. Genau das ist jedoch Sinn der Sache.
Was ist mit Tangens und Cotangens?
Auch die beiden anderen Winkelfunktionen Tangens und Cotangens lassen sich im Einheitskreis bildlich darstellen. Wie am Anfang des Kapitels bereits erwähnt, wird der Einfachheit halber aber an dieser Stelle darauf verzichtet.
