Tangens
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Tangens versteht.
In der Schule definiert man den Tangens erst im rechtwinkligen Dreieck für Winkel zwischen $\boldsymbol{0^\circ}$ und $\boldsymbol{90^\circ}$.
Danach wird die Definition mithilfe des Einheitskreises auf alle Winkel erweitert.
Erforderliches Vorwissen
Definition im rechtwinkligen Dreieck
Der Tangens ist eine Winkelfunktion.
Winkelfunktionen sind definiert als das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck.
Ein Verhältnis entspricht in der Mathematik dem Quotienten zweier Größen.
Die Abbildung soll bei der Definition des Tangens helfen.
Es gilt:
Die Seite $b$ ist die Ankathete zu $\alpha$.
Die Seite $a$ ist die Gegenkathete zu $\alpha$.
Die Seite $c$ ist die Hypotenuse.
Mehr über diese Begriffe erfährst du im Kapitel zu den rechtwinkligen Dreiecken.
Der Tangens des Winkels $\alpha$ entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete:
$$ \tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b} $$
Im rechtwinkligen Dreieck können wir nur zeigen, dass der Tangens für Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ definiert ist. Um diese Definition zu erweitern, betrachten wir den Tangens im Einheitskreis.
Definition im Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Radius die Länge $1$ hat und dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
Danach zeichnen wir den Winkel ein, der zwischen der $x$-Achse und der Gerade durch Koordinatenursprung und dem Punkt $P$ verläuft.
Es stellt sich die Frage, welchen Wert der Tangens dieses Winkels annimmt.
Wenn wir den Punkt $P$ senkrecht mit der $x$-Achse verbinden (gestrichelte Linie), erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses hilft uns dabei, den Tangens des Winkels zu bestimmen.
Zur Verdeutlichung haben wir die Gegenkathete und die Ankathete des Winkels $\alpha$ in der Zeichnung beschriftet.
Wir wissen bereits, dass gilt:
$$ \tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} $$
Leider können wir an dieser Stelle noch nicht den Tangens aus der Zeichnung ablesen. Wir müssen erst einen kleinen Trick anwenden.
Wir verschieben die Gegenkathete solange parallel, bis sie zu einer Tangente des Kreises wird. Laut dem Strahlensatz dürfen wir die Gegenkathete parallel verschieben, denn dadurch ändert sich das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete nicht.
…aber was hat uns diese Parallelverschiebung eigentlich gebracht?
Jetzt können wir den Tangens einfach ablesen!
In der Abbildung ist schön zu erkennen, dass die Länge der Ankathete durch die Parallelverschiebung der Gegenkathete nun dem Radius des Kreises entspricht.
Der Einheitskreis hat laut Definition einen Radius von $1$. Daraus folgt:
$$ \tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} =\frac{\text{Gegenkathete}}{1} =\text{Gegenkathete} $$
…und welche Länge hat jetzt die Gegenkathete?
Die Länge der Gegenkathete entspricht der $y$-Koordinate des Punktes $P'$.
Unter dem Tangens eines beliebigen Winkels $\alpha$ versteht man die $\boldsymbol{y}$-Koordinate des zu $\alpha$ gehörenden Punktes $P'$.
Den Punkt $P'$ erhält man durch eine Parallelverschiebung der Gegenkathete. Dabei wird die Gegenkathete solange verschoben, bis die Ankathete den Wert $1$ annimmt. Die Gegenkathete wird auf diese Weise zu einer Tangente des Einheitskreises.
Tangens nicht für alle Winkel definiert!
Den Tangens können wir auch mithilfe von Sinus und Cosinus definieren:
$$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$
Warum gilt das?
$$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}= \frac{ \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} }{ \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} } =\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}= \tan \alpha $$
In der obigen Formel haben wir die Hypotenuse herausgekürzt.
Vielleicht kannst du dich noch an folgende Regel erinnern:
Der Nenner eines Bruchs darf nie Null werden!
Für Winkel, für die der Cosinus gleich Null wird, ist der Tangens nicht definiert:
$$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$
Eigentlich logisch, oder? Doch wann wird der Cosinus Null?
Der Cosinus wird für die Winkel $90^\circ$, $270^\circ$, $450^\circ$ usw. gleich Null.
Für diese Winkel ist der Tangens nicht definiert!
Tangens berechnen
Um Tangenswerte mithilfe deines Taschenrechners zu berechnen, spielt es keine Rolle, ob die Winkel im Gradmaß (z. B. $90^\circ$) oder im Bogenmaß (z. B. $\frac{\pi}{2}$) gegeben sind. Wichtig ist nur, dass du in das Setup deines Taschenrechner gehst und dort die richtige Einstellung wählst:
DEG (engl. degree) steht für das Gradmaß, RAD (engl. radian) für das Bogenmaß.
Die folgende Tabelle zeigt einige wichtige Tangenswerte:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \alpha & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\ & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\ \hline \tan \alpha & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text{n. def.} & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0 \\ \hline &&&&&&&&& \\ &&&&&&&&& \\ \hline \alpha & 180^\circ & 210^\circ & 225^\circ & 240^\circ & 270^\circ & 300^\circ & 315^\circ & 330^\circ & 360^\circ \\ & {\color{gray}0\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}\!+\!\pi} & {\color{gray}\pi\!+\!\pi} \\ \hline \tan \alpha & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text{n. def.} & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0 \end{array} $$
In der obigen Tabelle können wir eine interessante Eigenschaft beobachten:
$$ \tan(\alpha + 180^\circ) = \tan(\alpha + \pi) = \tan \alpha $$
Aus bekannten oder gegebenen Tangenswerten können wir also weitere Werte berechnen.
