Satz des Pythagoras
In diesem Kapitel besprechen wir den Satz des Pythagoras.
Erforderliches Vorwissen
Wiederholung: Rechtwinkliges Dreieck
Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkliges Dreiecks. Sie liegt stets gegenüber dem rechten Winkel.
Als Kathete bezeichnet man jede der beiden kürzeren Seiten des rechtwinkligen Dreiecks. Diese beiden Seiten bilden den rechten Winkel.
Die Ecken des Dreiecks werden mit Großbuchstaben ($A$, $B$, $C$) gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.
Die Seiten des Dreiecks werden mit Kleinbuchstaben ($a$, $b$, $c$) beschriftet. Dabei liegt die Seite $a$ gegenüber dem Eckpunkt $A$…
Die Winkel des Dreiecks werden mit griechischen Buchstaben beschriftet. Dabei befindet sich der Winkel $\alpha$ beim Eckpunkt $A$…
Der Satz
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Satz des Pythagoras
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
In Worten: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten genauso groß wie das Quadrat der Hypotenuse.
Veranschaulichung
Wir wissen bereits, dass es sich bei $a$, $b$ und $c$ um die Seiten des Dreiecks handelt. Doch was kann man sich dann unter $a^2$, $b^2$ und $c^2$ vorstellen?
In der 5. oder 6. Klasse hast du dich wahrscheinlich zum ersten Mal mit Flächen auseinandergesetzt. Schauen wir uns dazu ein kleines Beispiel an.
Von einer Länge zu einer Fläche
Wenn du auf einem karierten Blatt Papier ein Quadrat mit der Seitenlänge $4\ \textrm{cm}$ zeichnest, dann ist die umrandete Fläche $16\ \textrm{cm}^2$ groß.
Rechnerisch:
$$ 4\ \textrm{cm} \cdot 4\ \textrm{cm} = 16\ \textrm{cm}^2 $$
Mit diesem Wissen aus der Unterstufe können wir uns $a^2$, $b^2$ und $c^2$ schon besser vorstellen. Es handelt sich offenbar um drei Quadrate mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$.
In der folgenden Abbildung versuchen wir die beiden Kathetenquadrate sowie das Hypotenusenquadrat zu veranschaulichen:
Die Kathetenquadrate erhalten wir, indem wir die Seiten $a$ und $b$ als Seitenlänge eines Quadrates interpretieren.
Das Hypotenusenquadrat erhalten wir, indem wir die Hypotenuse (Seite $c$) als Seitenlänge eines Quadrates interpretieren.
Laut Pythagoras gilt:
$$ {\color{green}a^2} + {\color{blue}b^2} = {\color{red}c^2} $$
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Kathetenquadrate (d. h. die Summe der grünen und blauen Fläche) genauso groß sind wie das Hypotenusenquadrat (rote Fläche).
Wenn du bis hierhin alles verstanden hast, dann denkst du dir wahrscheinlich gerade: Längen, Flächen, Dreiecke…alles schön und gut, aber was bringt mir der Satz des Pythagoras?
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Wie du im nächsten Abschnitt sehen wirst, gibt es zahlreiche Fragestellungen, bei denen sich der Satz des Pythagoras als äußerst nützlich erweist.
Anwendungen
Dritte Seite berechnen
Ist die Länge zweier Seiten gegeben, so hilft der Satz des Pythagoras dabei, die Länge der dritten Seite zu finden. Dazu müssen wir den Satz des Pythagoras nach der gesuchten Seite auflösen. Da ein Dreieck drei Seiten hat, gibt es drei Formeln:
(1) $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
(2) $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
(3) $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
Gegeben sind die Längen der Katheten $a$ und $b$ eines rechtwinkligen Dreiecks:
$$ a = 3\ \textrm{LE} $$
$$ b = 4\ \textrm{LE} $$
Berechne die Länge der Hypotenuse $c$.
Formel aufschreiben
$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$
Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen
$$ \phantom{c} = \sqrt{3^2 + 4^2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{c} &= \sqrt{9 + 16} \\[5px] &= \sqrt{25} \\[5px] &= 5 \end{align*} $$
Die Hypotenuse hat eine Länge von $5$ Längeneinheiten.
Gegeben sind die Längen der Kathete $a$ und der Hypotenuse $c$ eines rechtwinkliges Dreiecks:
$$ a = 8 $$
$$ c = 10 $$
Berechne die Länge der Kathete $b$.
Formel aufschreiben
$$ b = \sqrt{c^2 - a^2} $$
Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen
$$ \phantom{b} = \sqrt{10^2 - 8^2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{b} &= \sqrt{100 - 64} \\[5px] &= \sqrt{36} \\[5px] &= 6 \end{align*} $$
Die Kathete $b$ hat eine Länge von $6$ Längeneinheiten.
Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck?
Wenn die Längen aller drei Seiten eines Dreiecks bekannt sind, kann uns der Satz des Pythagoras dabei helfen, herauszufinden, ob es sich bei diesem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Dazu müssen wir keinen einzigen Winkel messen!
Idee: Wenn das Dreieck rechtwinklig wäre, dann müsste der Satz des Pythagoras gelten. Wir setzen also die gegebenen Werte in die Formel ein und schauen uns dann an, was dabei herauskommt.
Tipp: Damit du die Werte richtig in die Formel einsetzt, musst du daran denken, dass die beiden kürzeren Seiten die Katheten sind.
Gegeben sei ein Dreieck mit den Seitenlängen $2\ \textrm{cm}$, $5\ \textrm{cm}$ und $3\ \textrm{cm}$.
Überprüfe mithilfe des Satzes des Pythagoras, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so gilt:
$$ 2^2 + 3^2 = 5^2 $$
$$ 4 + 9 = 25 $$
$$ 13 = 25 $$
Da der Satz des Pythagoras zu einem falschen Ergebnis führt, ist das Dreieck nicht rechtwinklig.
Gegeben sei ein Dreieck mit den Seitenlängen $12\ \textrm{cm}$, $13\ \textrm{cm}$ und $5\ \textrm{cm}$.
Überprüfe mithilfe des Satzes des Pythagoras, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so gilt:
$$ 5^2 + 12^2 = 13^2 $$
$$ 25 + 144 = 169 $$
$$ 169 = 169 $$
Da der Satz des Pythagoras zu einem wahren Ergebnis führt, ist das Dreieck rechtwinklig.
