Höhensatz
In diesem Kapitel besprechen wir den Höhensatz.
Erforderliches Vorwissen
Wiederholung: Rechtwinkliges Dreieck
Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkliges Dreiecks. Sie liegt stets gegenüber dem rechten Winkel.
Als Kathete bezeichnet man jede der beiden kürzeren Seiten des rechtwinkligen Dreiecks. Diese beiden Seiten bilden den rechten Winkel.
Die Ecken des Dreiecks werden mit Großbuchstaben ($A$, $B$, $C$) gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.
Die Seiten des Dreiecks werden mit Kleinbuchstaben ($a$, $b$, $c$) beschriftet. Dabei liegt die Seite $a$ gegenüber dem Eckpunkt $A$…
Die Winkel des Dreiecks werden mit griechischen Buchstaben beschriftet. Dabei befindet sich der Winkel $\alpha$ beim Eckpunkt $A$…
Die Höhe $h$ des rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse $c$ in zwei Hypotenusenabschnitte.
Den Hypotenusenabschnitt unterhalb der Kathete $a$ bezeichnen wir mit $p$.
Den Hypotenusenabschnitt unterhalb der Kathete $b$ bezeichnen wir mit $q$.
Es gilt: $c = p + q$.
Der Satz
Höhensatz
$$ h^2 = p \cdot q $$
In Worten: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe genauso groß wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.
Veranschaulichung
Wir wissen bereits, dass es sich bei $p$ und $q$ um die Hypotenusenabschnitte und bei $h$ um die Höhe handelt. Doch wie kann man sich $h^2$, bzw. $p \cdot q$ vorstellen?
In der 5. oder 6. Klasse hast du dich wahrscheinlich zum ersten Mal mit Flächen auseinandergesetzt. Schauen wir uns dazu ein kleines Beispiel an.
Von einer Länge zu einer Fläche
Wenn du auf einem karierten Blatt Papier ein Quadrat mit der Seitenlänge $4\ \textrm{cm}$ zeichnest, dann ist die umrandete Fläche $16\ \textrm{cm}^2$ groß.
Rechnerisch:
$$ 4\ \textrm{cm} \cdot 4\ \textrm{cm} = 16\ \textrm{cm}^2 $$
Mit diesem Wissen aus der Unterstufe können wir uns $h^2$ und $p \cdot q$ schon besser vorstellen:
$h^2$ist ein Quadrat mit der Seitenlänge$h$.$p \cdot q$ist ein Rechteck.
In der folgenden Abbildung versuchen wir den Sachverhalt noch einmal bildlich darzustellen:
Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe $(h^2$) genauso groß ist wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten ($p \cdot q$).
Wenn du bis hierhin alles verstanden hast, dann denkst du dir wahrscheinlich gerade: Rechtecke, Quadrate, Dreiecke…alles schön und gut, aber was bringt mir der Höhensatz?
.
Wie du im nächsten Abschnitt sehen wirst, gibt es zahlreiche Fragestellungen, bei denen sich der Höhensatz als äußerst nützlich erweist.
Anwendungen
Höhe gesucht
Wir lösen den Höhensatz $h^2 = p \cdot q$ nach $h$ auf:
$$ h = \sqrt{p \cdot q} $$
Gegeben ist sind die beiden Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$:
$$ p = 3 $$
$$ q = 2 $$
Gesucht ist die Länge der Höhe $h$.
Formel aufschreiben
$$ h = \sqrt{p \cdot q} $$
Werte für $\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ einsetzen
$$ \phantom{h} = \sqrt{3 \cdot 2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{h} &= \sqrt{6} \\[5px] &\approx 2{,}45 \end{align*} $$
Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck?
Mithilfe des Höhensatz können wir überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, ohne dabei auch nur einen einzigen Winkel zu messen. Dazu setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein und schauen uns an, was dabei herauskommt.
Von einem Dreieck kennen wir die Höhe sowie die beiden Hypotenusenabschnitte:
$$ h = 5 $$
$$ p = 4 $$
$$ q = 2 $$
Überprüfe mithilfe des Höhensatzes, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so gilt:
$$ h^2 = p \cdot q $$
$$ 5^2 = 4 \cdot 2 $$
$$ 25 = 8 $$
Da der Höhensatz zu einem falschen Ergebnis führt, ist das Dreieck nicht rechtwinklig.
Von einem Dreieck kennen wir die Höhe sowie die beiden Hypotenusenabschnitte:
$$ h = 2{,}4 $$
$$ p = 3{,}2 $$
$$ q = 1{,}8 $$
Überprüfe mithilfe des Höhensatzes, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so gilt:
$$ h^2 = p \cdot q $$
$$ 2{,}4^2 = 3{,}2 \cdot 1{,}8 $$
$$ 5{,}76 = 5{,}76 $$
Da der Höhensatz zu einem wahren Ergebnis führt, ist das Dreieck rechtwinklig.
