Dreieck

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Dreieck ist.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Geometrische Figuren

Definition

Eine geometrische Figur, die aus
drei Punkten, die nicht auf einer Gerade liegen, und den
drei Strecken, die diese Punkte miteinander verbinden,
besteht, heißt Dreieck.

Beispiel 1

Drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen, lassen sich zu einem Dreieck verbinden.

Abb. 1 / Ein Dreieck

Beispiel 2

Drei Punkte, die auf einer Gerade liegen, lassen sich nicht zu einem Dreieck verbinden.

Abb. 2 / Kein Dreieck

Eigenschaften

Ecken

Jedes Dreieck hat drei Ecken.

Die Eckpunkte werden meist mit den großen Buchstaben $A$ , $B$ und $C$ – beginnend von dem linken unteren Eckpunkt gegen den Uhrzeigersinn – bezeichnet.

Abb. 3 / Ecken

Seiten

Jedes Dreieck hat drei Seiten.

Die Seiten werden meist mit den kleinen Buchstaben $a$ , $b$ und $c$ bezeichnet, wobei $a$ gegenüber von $A$ , $b$ gegenüber von $B$ und $c$ gegenüber von $C$ liegt.

Abb. 4 / Seiten

Innenwinkel

Jedes Dreieck hat drei Innenwinkel.

Die Innenwinkel werden meist mit den griechischen Kleinbuchstaben $\alpha$ (alpha), $\beta$ (beta) und $\gamma$ (gamma) bezeichnet. $A$ ist der Scheitelpunkt von $\alpha$ , $B$ von $\beta$ usw.

Abb. 5 / Innenwinkel

Außenwinkel

Durch Verlängerung der Dreiecksseiten entsteht an jedem der drei Eckpunkte eine Geradenkreuzung, an der wir Scheitelwinkel und Nebenwinkel des jeweiligen Innenwinkels eintragen können. Der Nebenwinkel eines Innenwinkels heißt Außenwinkel.

Jedes Dreieck hat drei Außenwinkel.

Außenwinkel werden meist mit einem Apostroph ( $^{\prime}$ ) von Innenwinkeln abgegrenzt.

Abb. 6 / Außenwinkel

Sprechweise

$\alpha^\prime$ sprechen wir alpha Strich
$\beta^\prime$ sprechen wir beta Strich
$\gamma^\prime$ sprechen wir gamma Strich

Beziehungen zwischen Größen

Beziehungen zwischen Seitenlängen

$a + b > c$ , $a + c > b$ und $b + c > a$ (Dreiecksungleichungen)

In Worten: In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seitenlängen stets größer als die dritte Seitenlänge.

Beziehungen zwischen Winkelgrößen

$$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $$

In Worten: In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel $180^\circ$ (Innenwinkelsummensatz).

$$ \alpha^{\prime} + \beta^{\prime} + \gamma^{\prime} = 360^\circ $$

In Worten: In jedem Dreieck beträgt die Summe der Außenwinkel $360^\circ$ (Außenwinkelsummensatz).

$\alpha^\prime = \beta + \gamma$ , $\beta^\prime = \alpha + \gamma$ und $\gamma^\prime = \alpha + \beta$

In Worten: Ein Außenwinkel ist so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel (Außenwinkelsatz).

Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkelgrößen

In jedem Dreieck liegt der größte Winkel der größten Seite gegenüber.

Beispiel 3

Aus $a > b > c$ folgt $\alpha > \beta > \gamma$ .

Die Umkehrung des Satzes gilt auch:

In jedem Dreieck liegt die größte Seite dem größten Winkel gegenüber.

Beispiel 4

Aus $\alpha > \beta > \gamma$ folgt $a > b > c$ .

In manchen Dreiecken kommen gleich lange Seiten / gleich große Winkel vor. Dann gilt:

Gleich langen Seiten liegen gleich große Winkeln gegenüber.

Beispiel 5

Aus $a = b$ folgt $\alpha = \beta$ .

Gleich großen Winkeln liegen gleich lange Seiten gegenüber.

Beispiel 6

Aus $\alpha = \beta$ folgt $a = b$ .

Ausblick

Dreiecke lassen sich in verschiedene Dreiecksarten einteilen.
Es gibt einige besondere Linien und Punkte im Dreieck:
- Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierende (Schnittpunkt: Schwerpunkt).
- Jedes Dreieck hat drei Winkelhalbierende (Schnittpunkt: Inkreismittelpunkt).
- Jedes Dreieck hat drei Mittelsenkrechte (Schnittpunkt: Umkreismittelpunkt).
- Jedes Dreieck hat drei Höhen (Schnittpunkt: Höhenschnittpunkt).