Flächeninhalt: Dreieck
In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen.
Ein Dreieck ist eine geometrische Figur und Flächeninhalt
ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.
Zur Fläche eines Dreiecks gehören alle Punkte, die auf der Begrenzungslinie und innerhalb des Dreiecks liegen.
Allgemeines Dreieck
Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich nach der Formel
$$ A = a \cdot b $$
(Länge mal Breite
)
Jedes Dreieck kann in ein Rechteck verwandelt werden.
Herleitung 1
Wir suchen uns eine Seite des Dreiecks aus, die wir Grundseite $g$ nennen, und zeichnen die zu der Grundseite gehörende Höhe $h$ ein.
Die Höhe $h$ teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse.
Wir spiegeln die beiden rechtwinkligen Dreiecke jeweils an ihren Hypotenusen. Dadurch erhalten wir ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $A = g \cdot h$ (Länge mal Breite
).
Das ursprüngliche Dreieck ist genau halb so groß wie das Rechteck, weil in dem Rechteck die beiden rechtwinkligen Teildreiecke jeweils doppelt vorkommen.
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist folglich:
$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$
Herleitung 2
Wir suchen uns eine Seite des Dreiecks aus, die wir Grundseite $g$ nennen, und zeichnen die zu der Grundseite gehörende Höhe $h$ ein.
Danach zeichnen wir die Mittelsenkrechte der Höhe ein.
Die obere Hälfte des Dreiecks wird durch die Höhe und deren Mittelsenkrechte in zwei Dreiecke geteilt. Diese beiden Dreiecke klappen wir so um, dass sie die untere Hälfte des Dreiecks zu einem Rechteck ergänzen.
Da die Mittelsenkrechte die Höhe halbiert, gilt für den Flächeninhalt des Rechtecks:
$$ A = g \cdot \frac{1}{2}h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$
(Länge mal Breite
)
Damit haben wir gleichzeitig die Formel für das ursprüngliche Dreieck gefunden, denn das Rechteck und das Dreieck sind flächengleich.
Herleitung 3
Wir suchen uns eine Seite des Dreiecks aus, die wir Grundseite $g$ nennen, und zeichnen die zu der Grundseite gehörende Höhe $h$ ein.
Danach zeichnen wir eine Gerade durch die Grundseite und eine Parallele durch den der Grundseite gegenüberliegenden Eckpunkt.
Wir kopieren das Dreieck, stellen es auf den Kopf und schieben die beiden Dreiecke so zusammen, dass ein Parallelogramm entsteht.
Wenn wir das kleine Teildreieck, das durch die Höhe $h$ abgetrennt wird,…
…auf die gegenüberliegende Seite des Parallelogramms verschieben, erhalten wir ein Rechteck, dessen Flächeninhalt sich nach der Formel $A = g \cdot h$ (Länge mal Breite
) berechnet.
Das ursprüngliche Dreieck ist genau halb so groß wie das Rechteck, weil wir das Dreieck ja kopiert (verdoppelt) haben.
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist folglich:
$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$
Formel
Flächenformel für ein allgemeines Dreieck:
$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$
$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \quad\left(= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c\right) $$
Anmerkung
Neben der obigen Formel gibt es noch andere Möglichkeiten, den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, z. B. mithilfe der Heron’schen Formel: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, wobei $s$ dem halben Umfang des Dreiecks, also $s = \frac{1}{2}(a + b + c)$, entspricht.
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks mit $a = 4\ \textrm{cm}$ und $h_a = 2\ \textrm{cm}$?
Formel aufschreiben
$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$
Werte für $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = \frac{1}{2} \cdot 4\ \textrm{cm} \cdot 2\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2) (\textrm{cm} \cdot \textrm{cm}) \\[5px] &= 4\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks mit $b = 5\ \textrm{m}$ und $h_b = 3\ \textrm{m}$?
Formel aufschreiben
$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$
Werte für $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = \frac{1}{2} \cdot 5\ \textrm{m} \cdot 3\ \textrm{m} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (\tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3) (\textrm{m} \cdot \textrm{m}) \\[5px] &= 7{,}5\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks mit $c = 7\ \textrm{km}$ und $h_c = 6\ \textrm{km}$?
Formel aufschreiben
$$ A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h $$
Werte für $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = \frac{1}{2} \cdot 7\ \textrm{km} \cdot 6\ \textrm{km} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (\tfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6) (\textrm{km} \cdot \textrm{km}) \\[5px] &= 21\ \textrm{km}^2 \end{align*} $$
Anmerkung
$g$und$h$müssen in der gleichen Einheit vorliegen. Eventuell ist ein Umrechnen erforderlich.- Für manche Dreiecksarten gibt es zusätzlich weitere Formeln.
Gleichschenkliges Dreieck
Herleitung der Formel und Beispiele
Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks
Gleichseitiges Dreieck
Herleitung der Formel und Beispiele
Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks
