Flächeninhalt: Rechteck
In diesem Kapitel lernen wir, den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen.
Ein Rechteck
ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Flächeninhalt
ist der Fachbegriff für die Größe einer Fläche.
Erforderliches Vorwissen
Einleitung
Eine Fläche zu messen bedeutet, sie mit einer anderen, bekannten Fläche zu vergleichen.
Wenn wir also herausfinden wollen, wie groß die Fläche eines Rechtecks ist, brauchen wir eine andere Fläche als Vergleichsfläche.
Das Rechteck ist so groß wie…
…drei Smartphones.
…zwei Taschenrechner.
…eine Seite eines Buches.
Wie du siehst, können wir eine beliebige Fläche als Vergleichsfläche wählen.
Damit die Resultate von Flächenmessungen miteinander vergleichbar sind, müssen wir dieselbe Vergleichsfläche verwenden. Es empfiehlt sich deshalb, für alle Messungen ein und dieselbe Vergleichsfläche zu wählen.
Als Vergleichsfläche dient uns ein Quadrat mit der Seitenlänge $1$, ein sog. Einheitsquadrat.
Im Folgenden überprüfen wir, wie oft das Einheitsquadrat in das Rechteck passt.
Da das Einheitsquadrat in diesem Fall genau einem Kästchen entspricht, stellen wir durch Abzählen der Kästchen im Rechteck fest: Das Quadrat passt $24$ mal in das Rechteck!
In der Sprache der Mathematik heißt das:$A_{R} = 24 \cdot A_{Q}$
Wir merken uns, dass $A$ (engl. area) das Formelzeichen für den Flächeninhalt ist.
Das Resultat unserer Messung ist $24 \cdot A_Q$, also 24 mal so groß wie ein Einheitsquadrat.
Wenn das Einheitsquadrat eine Seitenlänge von $1\ \textrm{cm}$ hat, ist sein Flächeninhalt genau $1\ \textrm{cm}^2$.
Neben dem Zentimeter ist natürlich auch eine Vielzahl anderer Längeneinheiten denkbar:
| Seitenlänge des Einheitsquadrats | Flächeninhalt des Einheitsquadrats |
|---|---|
$1\ \textrm{mm}$ Millimeter | $1\ \textrm{mm}^2$ Quadratmillimeter |
$1\ \textrm{cm}$ Zentimeter | $1\ \textrm{cm}^2$ Quadratzentimeter |
$1\ \textrm{dm}$ Dezimeter | $1\ \textrm{dm}^2$ Quadratdezimeter |
$1\ \textrm{m}$ Meter | $1\ \textrm{m}^2$ Quadratmeter |
$1\ \textrm{km}$ Kilometer | $1\ \textrm{km}^2$ Quadratkilometer |
Hätten wir mit einem $1\ \textrm{cm}^2$ großen Einheitsquadrat gemessen, dann wäre das Rechteck aus unserem Beispiel $24\ \textrm{cm}^2$ groß.
Herleitung der Flächenformel
Wie würdest du die Größe deines Zimmers bestimmen? Kästchen zählen? Das geht natürlich nicht! Zum Glück gibt es eine Formel, mit der wir rechteckige Flächen leicht berechnen können.
Stell dir vor, du bist in einem kleinen Kino und willst wissen, wie viele Sitze es gibt. Jedes Quadrat in der Abbildung entspricht einem Sitz.
Wie würdest du vorgehen? Jeden Sitz einzeln zählen?
Geht es nicht einfacher?
Doch! Es geht einfacher!
Wir zählen zunächst die Sitze in der ersten Reihe (also die Spalten in unserer Abbildung) und dann die Reihen.
Das Produkt aus der Anzahl der Spalten und der Anzahl der Reihen ist die gesuchte Größe:
$6 \cdot 4 = 24$
Diese Vorgehensweise können wir auf unser Flächenproblem übertragen:
Wir messen zunächst
die Länge des Rechtecks ($a$)
und dann seine Breite ($b$).
Das Produkt aus Länge und Breite ist
der gesuchte Flächeninhalt des Rechtecks:
$A = 6\ \textrm{cm} \cdot 4\ \textrm{cm} = 24\ \textrm{cm}^2$
Formel
$A = a \cdot b$ (Länge mal Breite
)
$a$ und $b$ sind zwei Längen in derselben Maßeinheit (ggf. umrechnen!).
Längen werden in Längeneinheiten (z. B. $\textrm{mm}$, $\textrm{cm}$, $\textrm{dm}$, $\textrm{m}$ oder $\textrm{km}$) angegeben.
$A$ ist das Formelzeichen für den Flächeninhalt.
Flächeninhalte werden in Flächeneinheiten (z. B. $\textrm{mm}^2$, $\textrm{cm}^2$, $\textrm{dm}^2$, $\textrm{m}^2$ oder $\textrm{km}^2$) angegeben.
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Achte beim Ergebnis auf die Einheit! Eine $8\ \textrm{cm}$ große Fläche gibt es nicht!
Beispiele
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Rechtecks mit $a = 4\ \textrm{cm}$ und $b = 2\ \textrm{cm}$?
Formel aufschreiben
$$ A = a \cdot b $$
Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = 4\ \textrm{cm} \cdot 2\ \textrm{cm} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (4 \cdot 2) \cdot (\textrm{cm} \cdot \textrm{cm}) \\[5px] &= 8\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Rechtecks mit $a = 5\ \textrm{m}$ und $b = 3\ \textrm{m}$?
Formel aufschreiben
$$ A = a \cdot b $$
Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = 5\ \textrm{m} \cdot 3\ \textrm{m} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (5 \cdot 3) \cdot (\textrm{m} \cdot \textrm{m}) \\[5px] &= 15\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$
Wie groß ist der Flächeninhalt eines Rechtecks mit $a = 7\ \textrm{km}$ und $b = 6\ \textrm{km}$?
Formel aufschreiben
$$ A = a \cdot b $$
Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = 7\ \textrm{km} \cdot 6\ \textrm{km} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= (7 \cdot 6) \cdot (\textrm{km} \cdot \textrm{km}) \\[5px] &= 42\ \textrm{km}^2 \end{align*} $$
Wusstest du schon, dass $\textrm{km}^2$ lediglich eine abkürzende Schreibweise für $\textrm{km} \cdot \textrm{km}$ ist? Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel zu den Potenzen!
