Diagonale: Rechteck
In diesem Kapitel lernen wir, die Diagonale eines Rechtecks zu berechnen.
Ein Rechteck
ist eine geometrische Figur, genauer gesagt ein Viereck, mit speziellen Eigenschaften und Diagonale
ist der Fachbegriff für die Verbindungsstrecke zwischen nicht benachbarten Ecken (Gegenecken).
Erforderliches Vorwissen
Herleitung der Formel
In einem allgemeinen Viereck sind die beiden Diagonalen verschieden lang und werden meist mit $e$ und $f$ bezeichnet.
In einem Rechteck sind die beiden Diagonalen gleich lang. Sie werden in der Regel einfach mit dem Buchstaben $d$ bezeichnet.
Im Folgenden schauen wir uns an, wie wir $d$ berechnen können, wenn $a$ und $b$ gegeben sind.
Die Diagonale $d$ zerlegt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke: $\triangle ABC$ und $\triangle ACD$.
$d$ ist die Hypotenuse beider Dreiecke, also die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
- Satz des Pythagoras:
$d^2 = a^2 + b^2$. - Wurzelziehen:
$d = \sqrt{a^2+b^2}$.
Formel
$$ d = \sqrt{a^2 + b^2} $$
$a$, $b$ und $d$ sind Längen in derselben Maßeinheit (ggf. umrechnen!).
| Längeneinheiten |
|---|
$\textrm{mm}$ Millimeter |
$\textrm{cm}$ Zentimeter |
$\textrm{dm}$ Dezimeter |
$\textrm{m}$ Meter |
$\textrm{km}$ Kilometer |
Anleitung
Formel aufschreiben
Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit $a = 4\ \textrm{cm}$ und $b = 2\ \textrm{cm}$?
Formel aufschreiben
$$ d = \sqrt{a^2 + b^2} $$
Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = \sqrt{(4\ \textrm{cm})^2 + (2\ \textrm{cm})^2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{d} &= \sqrt{4^2\ \textrm{cm}^2 + 2^2\ \textrm{cm}^2} \\[5px] &= \sqrt{16\ \textrm{cm}^2 + 4\ \textrm{cm}^2} \\[5px] &= \sqrt{20\ \textrm{cm}^2} \\[5px] &= \sqrt{20} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^2} \\[5px] &= \sqrt{2^2 \cdot 5} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^2} \\[5px] &= \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{\textrm{cm}^2} \\[5px] &= 2\sqrt{5}\ \textrm{cm} \\[5px] &\approx 4{,}47\ \textrm{cm} \end{align*} $$
Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit $a = 5\ \textrm{m}$ und $b = 3\ \textrm{m}$?
Formel aufschreiben
$$ d = \sqrt{a^2 + b^2} $$
Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = \sqrt{(5\ \textrm{m})^2 + (3\ \textrm{m})^2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{d} &= \sqrt{5^2\ \textrm{m}^2 + 3^2\ \textrm{m}^2} \\[5px] &= \sqrt{25\ \textrm{m}^2 + 9\ \textrm{m}^2} \\[5px] &= \sqrt{34\ \textrm{m}^2} \\[5px] &= \sqrt{34} \cdot \sqrt{\textrm{m}^2} \\[5px] &= \sqrt{34}\ \textrm{m} \\[5px] &\approx 5{,}83\ \textrm{m} \end{align*} $$
Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit $a = 7\ \textrm{km}$ und $b = 6\ \textrm{km}$?
Formel aufschreiben
$$ d = \sqrt{a^2 + b^2} $$
Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen
$$ \phantom{d} = \sqrt{(7\ \textrm{km})^2 + (6\ \textrm{km})^2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{d} &= \sqrt{7^2\ \textrm{km}^2 + 6^2\ \textrm{km}^2} \\[5px] &= \sqrt{49\ \textrm{km}^2 + 36\ \textrm{km}^2} \\[5px] &= \sqrt{85\ \textrm{km}^2} \\[5px] &= \sqrt{85} \cdot \sqrt{\textrm{km}^2} \\[5px] &= \sqrt{85}\ \textrm{km} \\[5px] &\approx 9{,}22\ \textrm{km} \end{align*} $$
Schon gewusst? Die Diagonale eines Quadrats berechnet sich auf ähnliche Art und Weise.
