Wurzelziehen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie das Wurzelziehen funktioniert. Mathematiker verwenden sprechen in diesem Zusammenhang vom Radizieren
.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Wurzel?
Definition
Vielleicht ist dir bereits bekannt, dass die Wurzel aus $4$ gleich $2$ ist: $\sqrt{4} = 2$.
Die $2$ bezeichnet man in diesem Fall auch als den Wurzelwert
.
Die Berechnung des Wurzelwertes heißt Wurzelziehen oder Radizieren.
Anleitung
Im Folgenden lernen wir ein Verfahren kennen, mit dessen Hilfe wir jede beliebige Wurzel berechnen können. Dabei spielt es keine Rolle, ob $\sqrt{729}$, $\sqrt{9a^4b^6}$ oder $\sqrt[3]{216}$ gesucht ist.
Primfaktorzerlegung
Wurzel auseinanderziehen
Wurzeln als Potenzen schreiben
Exponenten kürzen
zu 1)
1.1) Zahl unter der Wurzel in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen (Primfaktorzerlegung)
1.2) Primzahlen zusammenfassen
Falls nur Variablen unter der Wurzel sind, kann man sich diesen Schritt sparen.
zu 2)
Wurzel auseinanderziehen (= Umkehrung des Wurzelgesetzes Wurzeln multiplizieren
)
Falls nur eine Potenz unter der Wurzel ist, kann man sich diesen Schritt sparen.
zu 3)
Wurzeln als Potenzen schreiben (Wurzeln in Potenzen umformen)
$$ \sqrt[{\color{red}2}]{2^2} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} = 2^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot 3^\frac{2}{{\color{red}2}} $$
zu 4)
Durch die Umwandlung der Wurzeln in Potenzen (3. Schritt) erhält man Potenzen mit gebrochenrationalen Exponenten
, d. h. die Exponenten der Potenzen sind Brüche und Brüche lassen sich bekanntlich kürzen (Brüche kürzen).
$$ \Rightarrow \sqrt{36} = 6 $$
Quadratwurzeln berechnen
Wurzelziehen mit Zahlen
Berechne $\sqrt{729}$.
Primfaktorzerlegung
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{729}} &= \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} \\[5px] &= \sqrt{3^6} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{729}} &= \sqrt[{\color{red}2}]{3^6} \\[5px] &= 3^\frac{6}{{\color{red}2}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{729}} &= 3^3 \\[5px] &= 3 \cdot 3 \cdot 3 \\[5px] &= 27 \end{align*} $$
Berechne $\sqrt{144}$.
Primfaktorzerlegung
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{144}} &= \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} \\[5px] &= \sqrt{2^4 \cdot 3^2} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{144}} &= \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2} \end{align*} $$
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{144}} &= \sqrt[{\color{red}2}]{2^4} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} \\[5px] &= 2^\frac{4}{{\color{red}2}} \cdot 3^\frac{2}{{\color{red}2}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{144}} &= 2^2 \cdot 3^1 \\[5px] &= 2 \cdot 2 \cdot 3 \\[5px] &= 12 \end{align*} $$
Wurzelziehen mit Variablen
Berechne $\sqrt{a^{12}}$.
Primfaktorzerlegung
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)
Wurzel auseinanderziehen
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{a^{12}}} &= \sqrt[{\color{red}2}]{a^{12}} \\[5px] &= a^\frac{12}{{\color{red}2}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{a^{12}}} &= a^6 \end{align*} $$
Berechne $\sqrt{9a^4b^6}$.
Primfaktorzerlegung
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{9a^4b^6}} &= \sqrt{3 \cdot 3 \cdot a^4 \cdot b^6} \\[5px] &= \sqrt{3^2 \cdot a^4 \cdot b^6} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{9a^4b^6}} &= \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^6} \end{align*} $$
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{9a^4b^6}} &= \sqrt[{\color{red}2}]{3^2} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{a^4} \cdot \sqrt[{\color{red}2}]{b^6} \\[5px] &= 3^\frac{2}{{\color{red}2}} \cdot a^\frac{4}{{\color{red}2}} \cdot b^\frac{6}{{\color{red}2}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt{9a^4b^6}} &= 3^1 \cdot a^2 \cdot b^3 \\[5px] &= 3a^2b^3 \end{align*} $$
Höhere Wurzeln berechnen
Wurzelziehen mit Zahlen
Berechne $\sqrt[6]{64}$.
Primfaktorzerlegung
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[6]{64}} &= \sqrt[6]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \\[5px] &= \sqrt[{\color{red}6}]{2^6} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[6]{64}} &= 2^\frac{6}{{\color{red}6}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[6]{64}} &= 2^1 \\[5px] &= 2 \end{align*} $$
Berechne $\sqrt[3]{216}$.
Primfaktorzerlegung
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{216}} &= \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} \\[5px] &= \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{216}} &= \sqrt[{\color{red}3}]{2^3} \cdot \sqrt[{\color{red}3}]{3^3} \end{align*} $$
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{216}} &= 2^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot 3^\frac{3}{{\color{red}3}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{216}} &= 2^1 \cdot 3^1 \\[5px] &= 2 \cdot 3 \\[5px] &= 6 \end{align*} $$
Wurzelziehen mit Variablen
Berechne $\sqrt[{\color{red}5}]{a^{-15}}$.
Primfaktorzerlegung
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel kommen nur Variablen vor!)
Wurzel auseinanderziehen
Diesen Schritt kann man sich hier sparen.
(Unter der Wurzel befindet sich nur eine Potenz!)
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[5]{a^{-15}}} &= a^\frac{-15}{{\color{red}5}} \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[5]{a^{-15}}} &= a^{-3} \end{align*} $$
Berechne $\sqrt[3]{8(a+b)^3}$.
Primfaktorzerlegung
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}} &= \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (a+b)^3} \\[5px] &= \sqrt[3]{2^3 \cdot (a+b)^3} \end{align*} $$
Wurzel auseinanderziehen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}} &= \sqrt[{\color{red}3}]{2^3} \cdot \sqrt[{\color{red}3}]{(a+b)^3} \end{align*} $$
Wurzeln als Potenzen schreiben
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}} &= 2^\frac{3}{{\color{red}3}} \cdot (a+b)^\frac{3}{{\color{red}3}} \\[5px] \end{align*} $$
Exponenten kürzen
$$ \begin{align*} \phantom{\sqrt[3]{8(a+b)^3}} &= 2^1 \cdot (a+b)^1 \\[5px] &= 2(a+b) \end{align*} $$
In diesem Kapitel haben wir einen Spezialfall besprochen: Bei allen obigen Beispielen ist im Ergebnis, d. h. im Wurzelwert, keine Wurzel mehr vorhanden. Oft bleibt jedoch im Ergebnis eine Wurzel stehen. Mehr dazu erfährst du im nächsten Kapitel: Teilweises Wurzelziehen.
