Wurzeln multiplizieren
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man Wurzeln multipliziert.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Wurzel?
- Wurzelgesetze
Voraussetzung
Das Produkt der Radikanden muss größer gleich Null sein ($a \cdot b \geq 0$).
Gleichnamige Wurzeln multiplizieren
Anleitung
$$ \sqrt[{\color{green}n}]{a} \cdot \sqrt[{\color{green}n}]{b} = \sqrt[{\color{green}n}]{a \cdot b} $$
In Worten: Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht.
Der Wurzelexponent verändert sich beim Multiplizieren nicht. Er wird einfach beibehalten.
Beispiele
Level 1
Level 2
$$ \sqrt[{\color{green}3}]{4} \cdot \sqrt[{\color{green}3}]{2} = \sqrt[{\color{green}3}]{4 \cdot 2} = \sqrt[{\color{green}3}]{8} $$
$$ \sqrt[{\color{green}5}]{3} \cdot \sqrt[{\color{green}5}]{3} = \sqrt[{\color{green}5}]{3 \cdot 3} = \sqrt[{\color{green}5}]{9} $$
$$ \sqrt[{\color{green}4}]{5} \cdot \sqrt[{\color{green}4}]{3} \cdot \sqrt[{\color{green}4}]{2} = \sqrt[{\color{green}4}]{5 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt[{\color{green}4}]{30} $$
Ungleichnamige Wurzeln multiplizieren
Anleitung
Wurzeln gleichnamig machen
kgV der Wurzelexponenten bestimmen
Wurzelexponenten auf kgV erweitern
Wurzeln multiplizieren
Hinweis: kgV = kleinstes gemeinsames Vielfaches
Beispiele
Fasse $\sqrt[{\color{blue}3}]{5} \cdot \sqrt[{\color{blue}4}]{6}$ zusammen.
Wurzeln gleichnamig machen
kgV der Wurzelexponenten bestimmen
$$ \text{kgV}({\color{blue}3},{\color{blue}4}) = {\color{green}12} $$
Wurzelexponenten auf kgV erweitern
$$ \sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}4}]{5^{\color{red}4}} = \sqrt[{\color{green}12}]{625} $$
$$ \sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot {\color{red}3}]{6^{\color{red}3}} = \sqrt[{\color{green}12}]{216} $$
Wurzeln multiplizieren
$$ \sqrt[{\color{green}12}]{625} \cdot \sqrt[{\color{green}12}]{216} = \sqrt[{\color{green}12}]{625 \cdot 216} = \sqrt[{\color{green}12}]{135000} $$
Fasse $\sqrt{7} \cdot \sqrt[{\color{blue}3}]{5^4}$ zusammen.
Beachte: $\sqrt{7} = \sqrt[{\color{blue}2}]{7}$
Wurzeln gleichnamig machen
kgV der Wurzelexponenten bestimmen
$$ \text{kgV}({\color{blue}2},{\color{blue}3}) = {\color{green}6} $$
Wurzelexponenten auf kgV erweitern
$$ \sqrt[2]{7} = \sqrt[2 \cdot {\color{red}3}]{7^{\color{red}3}} = \sqrt[{\color{green}6}]{343} $$
$$ \sqrt[3]{5^4} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}2}]{5^{4 \cdot {\color{red}2}}} = \sqrt[{\color{green}6}]{390625} $$
Wurzeln multiplizieren
$$ \sqrt[{\color{green}6}]{343} \cdot \sqrt[{\color{green}6}]{390625} = \sqrt[{\color{green}6}]{343 \cdot 390625} = \sqrt[{\color{green}6}]{133984375} $$
Einige der Lösungen, die wir in den obigen Beispielen berechnet haben, können noch weiter vereinfacht werden. Wie das geht, erfährst du in einem anderen Kapitel.
