Wurzeln dividieren
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man Wurzeln dividert.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Wurzel?
- Wurzelgesetze
Voraussetzung
Eine Division durch Null ist nicht erlaubt.
Gleichnamige Wurzeln dividieren
Anleitung
$$ \frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}} $$
In Worten: Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden zieht.
Der Wurzelexponent verändert sich beim Dividieren nicht. Er wird einfach beibehalten.
Beispiele
Level 1
Level 2
$$ \frac{\sqrt[{\color{green}3}]{4}}{\sqrt[{\color{green}3}]{2}} = \sqrt[{\color{green}3}]{\frac{4}{2}} = \sqrt[{\color{green}3}]{2} $$
$$ \frac{\sqrt[{\color{green}5}]{3}}{\sqrt[{\color{green}5}]{3}} = \sqrt[{\color{green}5}]{\frac{3}{3}} = \sqrt[{\color{green}5}]{1} $$
$$ \frac{\sqrt[{\color{green}4}]{20}}{\sqrt[{\color{green}4}]{5}} = \sqrt[{\color{green}4}]{\frac{20}{5}} = \sqrt[{\color{green}4}]{4} $$
Ungleichnamige Wurzeln dividieren
Anleitung
Wurzeln gleichnamig machen
kgV der Wurzelexponenten bestimmen
Wurzelexponenten auf kgV erweitern
Wurzeln dividieren
Hinweis: kgV = kleinstes gemeinsames Vielfaches
Beispiele
Fasse $\frac{\sqrt[{\color{blue}3}]{5}}{\sqrt[{\color{blue}4}]{6}}$ zusammen.
Wurzeln gleichnamig machen
kgV der Wurzelexponenten bestimmen
$$ \text{kgV}({\color{blue}3},{\color{blue}4}) = {\color{green}12} $$
Wurzelexponenten auf kgV erweitern
$$ \sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}4}]{5^{\color{red}4}} = \sqrt[{\color{green}12}]{625} $$
$$ \sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot {\color{red}3}]{6^{\color{red}3}} = \sqrt[{\color{green}12}]{216} $$
Wurzeln dividieren
$$ \frac{\sqrt[{\color{green}12}]{625}}{\sqrt[{\color{green}12}]{216}} = \sqrt[{\color{green}12}]{\frac{625}{216}} $$
Fasse $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt[{\color{blue}3}]{5^4}}$ zusammen.
Beachte: $\sqrt{7} = \sqrt[{\color{blue}2}]{7}$
Wurzeln gleichnamig machen
kgV der Wurzelexponenten bestimmen
$$ \text{kgV}({\color{blue}2},{\color{blue}3}) = {\color{green}6} $$
Wurzelexponenten auf kgV erweitern
$$ \sqrt[2]{7} = \sqrt[2 \cdot {\color{red}3}]{7^{\color{red}3}} = \sqrt[{\color{green}6}]{343} $$
$$ \sqrt[3]{5^4} = \sqrt[3 \cdot {\color{red}2}]{5^{4 \cdot {\color{red}2}}} = \sqrt[{\color{green}6}]{390625} $$
Wurzeln dividieren
$$ \frac{\sqrt[{\color{green}6}]{343}}{\sqrt[{\color{green}6}]{390625}} = \sqrt[{\color{green}6}]{\frac{343}{390625}} $$
Einige der Lösungen, die wir in den obigen Beispielen berechnet haben, können noch weiter vereinfacht werden. Wie das geht, erfährst du in einem anderen Kapitel.
