Kleinstes gemeinsames Vielfaches
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was das kleinste gemeinsame Vielfache ist.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Wenn wir die Vielfachenmengen von $2$ und $3$ auf Gemeinsamkeiten untersuchen,
$$ V_2 = \{2, 4, {\color{green}6}, 8, 10, {\color{green}12}, 14, 16, {\color{green}18}, 20, \dots\} $$
$$ V_3 = \{3, {\color{green}6}, 9, {\color{green}12}, 15, {\color{green}18}, 21, \dots\} $$
dann stellen wir fest, dass die Vielfachen ${\color{green}6}$, ${\color{green}12}$, ${\color{green}18}$, $\dots$ in beiden Mengen vorkommen. Das kleinste gemeinsame Vielfache (hier: ${\color{green}6}$) spielt dabei eine besondere Rolle.
Definition
Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, die Vielfaches aller dieser Zahlen ist.
Schreibweise
$\text{kgV}(a, b)$
Sprechweise
k g V von a und b
Das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b
Kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen
Es gibt verschiedene Rechenverfahren, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu berechnen.
kgV über Vielfachenmengen
Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von $12$ und $18$.
Vielfachenmengen bestimmen
$$ V_{12} = \{12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, \dots\} $$
$$ V_{18} = \{18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, \dots\} $$
Gemeinsame Vielfache markieren
$$ V_{12} = \{12, 24, \underline{36}, 48, 60, \underline{72}, 84, 96, \underline{108}, \dots\} $$
$$ V_{18} = \{18, \underline{36}, 54, \underline{72}, 90, \underline{108}, \dots\} $$
Kleinstes gemeinsames Vielfaches markieren
$$ V_{12} = \{12, 24, {\color{green}\underline{36}}, 48, 60, \underline{72}, 84, 96, \underline{108}, \dots\} $$
$$ V_{18} = \{18, {\color{green}\underline{36}}, 54, \underline{72}, 90, \underline{108}, \dots\} $$
Ergebnis aufschreiben
$$ \text{kgV}(12, 18) = 36 $$
Anmerkung
Die Vielfachenmengen mehrerer Zahlen zu bestimmen, kann ziemlich zeitaufwändig sein. Wenn du die Primfaktorzerlegung bereits beherrscht, ist das folgende Verfahren einfacher.
kgV über Primfaktorzerlegung
Das kgV zweier natürlicher Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen aller vorkommenden Primfaktoren.
Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von $12$ und $18$.
Primfaktorzerlegung durchführen
$$ 12 = 2^2 \cdot 3 $$
$$ 18 = 2 \cdot 3^2 $$
Primfaktoren mit den höchsten Potenzen markieren
$$ 12 = \underline{2^2} \cdot 3 $$
$$ 18 = 2 \cdot \underline{3^2} $$
Anmerkung
$2^2$ ist eine höhere Potenz als $2$.
$3^2$ ist eine höhere Potenz als $3$.
Primfaktoren mit den höchsten Potenzen miteinander multiplizieren
$$ \text{kgV}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36 $$
Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von $30$ und $50$.
Primfaktorzerlegung durchführen
$$ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $$
$$ 50 = 2 \cdot 5^2 $$
Primfaktoren mit den höchsten Potenzen markieren
$$ 30 = \underline{2} \cdot \underline{3} \cdot 5 $$
$$ 50 = 2 \cdot \underline{5^2} $$
Anmerkung
Die $2$ ist in beiden Zerlegungen die höchste Potenz. Wir markieren sie nur einmal.
Die $3$ kommt in nur einer Zerlegung vor. Sie ist somit die höchste Potenz.
$5^2$ ist eine höhere Potenz als $5$.
Primfaktoren mit den höchsten Potenzen miteinander multiplizieren
$$ \text{kgV}(30, 50) = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 150 $$
Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von $6$ und $35$.
Primfaktorzerlegung durchführen
$$ 6 = 2 \cdot 3 $$
$$ 35 = 5 \cdot 7 $$
Primfaktoren mit den höchsten Potenzen markieren
$$ 6 = \underline{2} \cdot \underline{3} $$
$$ 35 = \underline{5} \cdot \underline{7} $$
Primfaktoren mit den höchsten Potenzen miteinander multiplizieren
$$ \text{kgV}(6, 35) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210 $$
Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von $6$ und $18$.
Primfaktorzerlegung durchführen
$$ 6 = 2 \cdot 3 $$
$$ 18 = 2 \cdot 3^2 $$
Primfaktoren mit den höchsten Potenzen markieren
$$ 6 = 2 \cdot 3 $$
$$ 18 = \underline{2} \cdot \underline{3^2} $$
Primfaktoren mit den höchsten Potenzen miteinander multiplizieren
$$ \text{kgV}(6, 18) = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18 $$
Anmerkungen
Das kgV zweier teilerfremder Zahlen entspricht ihrem Produkt.
Beispiel:$\text{kgV}(6, 35) = 6 \cdot 35 = 210$Ist
$a$Teiler von$b$($b$ein Vielfaches von$a$), dann gilt:$\text{kgV}(a, b) = b$.
Beispiel:$\text{kgV}(6, 18) = 18$
Wenn das kgV von sehr großen Zahlen berechnet werden soll, kann auch dieses Verfahren ziemlich zeitaufwändig sein. Es empfiehlt sich dann, den größten gemeinsamen Teiler mithilfe des euklidischen Algorithmus zu berechnen und anschließend das kgV.
kgV über ggT
Zwischen dem kgV und dem ggT gilt folgender Zusammenhang:
$$ \text{kgV}(a, b) \cdot \text{ggT}(a, b) = a \cdot b $$
Daraus folgt: $\text{kgV}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{ggT}(a, b)}$
Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von $144$ und $256$.
ggT mithilfe des euklidischen Algorithmus berechnen
$$ \text{ggT}(144, 256) = 16 $$
Zwischenergebnis in die Formel einsetzen und ausrechnen
$$ \begin{align*} \text{kgV}(144, 256) &= \frac{a \cdot b}{\text{ggT}(a, b)} \\[5px] &= \frac{144 \cdot 256}{16} \\[5px] &= \frac{36864}{16} \\[5px] &= 2304 \end{align*} $$
Praktische Bedeutung
Bruchrechnung
- Brüche gleichnamig machen
- Ungleichnamige Brüche addieren
- Ungleichnamige Brüche subtrahieren
Wurzelrechnung
- Ungleichnamige Wurzeln multiplizieren
- Ungleichnamige Wurzeln dividieren
