Gemeinsame Vielfache

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was gemeinsame Vielfache sind.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Einordnung

Wenn wir die Vielfachenmengen von $2$ und $3$ auf Gemeinsamkeiten untersuchen,

$V_{2} = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, \dots}$

$V_{3} = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, \dots}$

dann stellen wir fest, dass die Vielfachen $6$ , $12$ , $18$ , $\dots$ in beiden Mengen vorkommen.

Um diese besonderen Vielfachen gezielt ansprechen zu können, geben wir ihnen einen Namen.

Definition

Zahlen, die Vielfache mehrerer natürlicher Zahlen sind, heißen gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.

Schreibweise

$gV (a, b)$

Sprechweise

g V von a b
Die gemeinsamen Vielfachen von a und b

Beispiel 1

$gV (2, 3) = {6, 12, 18, \dots}$

Anmerkung

Die Menge aller gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen ist die Schnittmenge ihrer Vielfachenmengen:

$gV (a, b) = V_{a} \cap V_{b}$

$gV (a, b, c) = V_{a} \cap V_{b} \cap V_{c}$

$gV (a, b, c, d) = V_{a} \cap V_{b} \cap V_{c} \cap V_{d}$

usw.

0,0

V_{2}

2

4

8

10

14

16

\dots

V_{3}

3

9

15

\dots

6

12

18

\dots

Abb. 1

Gemeinsame Vielfache bestimmen

Sobald die Vielfachenmengen bestimmt sind, lassen sich die gemeinsamen Vielfachen einfach finden.

Beispiel 2

Bestimme die gemeinsamen Vielfachen von $4$ und $5$ .

Vielfachenmengen bestimmen

$V_{4} = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, \dots}$

$V_{5} = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, \dots}$

Gemeinsame Vielfache markieren

$V_{4} = {4, 8, 12, 16, \underset{―}{20}, 24, 28, 32, 36, \underset{―}{40}, \dots}$

$V_{5} = {5, 10, 15, \underset{―}{20}, 25, 30, 35, \underset{―}{40}, 45, 50, \dots}$

Ergebnis aufschreiben

$gV (4, 5) = {20, 40, \dots}$

Beispiel 3

Bestimme die gemeinsamen Vielfachen von $5$ und $10$ .

Vielfachenmengen bestimmen

$V_{5} = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, \dots}$

$V_{10} = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, \dots}$

Gemeinsame Vielfache markieren

$V_{5} = {5, \underset{―}{10}, 15, \underset{―}{20}, 25, \underset{―}{30}, 35, \underset{―}{40}, 45, \underset{―}{50}, \dots}$

$V_{10} = {\underset{―}{10}, \underset{―}{20}, \underset{―}{30}, \underset{―}{40}, \underset{―}{50}, \dots}$

Ergebnis aufschreiben

$gV (5, 10) = {10, 20, 30, 40, 50, \dots}$

Beispiel 4

Bestimme die gemeinsamen Vielfachen von $10$ und $12$ .

Vielfachenmengen bestimmen

$V_{10} = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, \dots}$

$V_{12} = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, \dots}$

Gemeinsame Vielfache markieren

$V_{10} = {10, 20, 30, 40, 50, \underset{―}{60}, 70, 80, 90, 100, 110, \underset{―}{120}, \dots}$

$V_{12} = {12, 24, 36, 48, \underset{―}{60}, 72, 84, 96, 108, \underset{―}{120}, \dots}$

Ergebnis aufschreiben

$gV (10, 12) = {60, 120, \dots}$

Online-Rechner

Gemeinsame Vielfache online berechnen

Ausblick

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) hat eine große Bedeutung in der Mathematik.