Nenner rational machen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Nenner rational machen
bedeutet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Wurzel?
Einordnung
Gegeben ist ein Bruch, der im Nenner eine irrationale Zahl (hier: eine Wurzel) enthält.
Ziel ist es, die Wurzel im Nenner des Bruches zu eliminieren.
Statt einer irrationalen Zahl steht nun eine rationale Zahl im Nenner.
Aus diesem Grund bezeichnet man diese Umformung auch als Nenner rational machen
.
Warum möchte man den Nenner rational machen?
- Die numerische Berechnung des Bruchs wird vereinfacht wird.
- Ein Weiterrechnen ohne Rationalisierung des Nenners ist oft nicht möglich.
Beispiele
Die Vorgehensweise unterscheidet sich danach, wie der Nenner aussieht:
- Quadratwurzel im Nenner (leicht)
- Höhere Wurzel im Nenner (mittel)
- Summe/Differenz im Nenner (schwer)
Alle Verfahren basieren auf dem Erweitern von Brüchen.
Quadratwurzel
$$ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{{\colorbox{yellow}{$(\sqrt{b})^2$}}} = \frac{a\sqrt{b}}{{\colorbox{yellow}{$b$}}} $$
Bruch erweitern mit der Wurzel, die im Nenner steht.
Der vorletzte Schritt ausführlich dargestellt (Potenzen multiplizieren):
$$ \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = (\sqrt{b})^1 \cdot (\sqrt{b})^1 = (\sqrt{b})^{1+1} = (\sqrt{b})^{2} $$
Der letzte Schritt ausführlich dargestellt (Wurzeln potenzieren & Wurzel als Potenz):
$$ {\colorbox{yellow}{$(\sqrt{b})^2$}} = (\sqrt[2]{b})^2 = \sqrt[2]{b^2} = b^\frac{2}{2} = b^1 = {\colorbox{yellow}{$b$}} $$
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{\colorbox{yellow}{$(\sqrt{2})^2$}}} = \frac{\sqrt{2}}{{\colorbox{yellow}{$2$}}} $$
$$ \frac{3}{4\sqrt{5}} = \frac{3}{4\sqrt{5}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}} = \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{4{\colorbox{yellow}{$(\sqrt{5})^2$}}} = \frac{3\sqrt{5}}{4 \cdot {\colorbox{yellow}{$5$}}} = \frac{3\sqrt{5}}{20} $$
Höhere Wurzel
$$ \frac{a}{\sqrt[n]{b}} = \frac{a}{\sqrt[n]{b}} \cdot {\color{red}\frac{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}} = \frac{a \cdot (\sqrt[n]{b})^{n-1}}{\sqrt[n]{b} \cdot (\sqrt[n]{b})^{n-1}} = \frac{a(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{{\colorbox{yellow}{$(\sqrt[n]{b})^{n}$}}} = \frac{a(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{{\colorbox{yellow}{$b$}}} $$
Bruch erweitern mit der Wurzel, die im Nenner steht…und zwar (n-1) mal.
Das Erweitern des Bruchs ausführlich dargestellt:
$$ \frac{a}{\sqrt[n]{b}} \cdot \underbrace{{\color{red}\frac{\sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{b} \cdots \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{b} \cdots \sqrt[n]{b}}}}_{\text{(n-1) mal}} =\frac{a}{\sqrt[n]{b}} \cdot {\color{red}\frac{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}{(\sqrt[n]{b})^{n-1}}} $$
Der vorletzte Schritt ausführlich dargestellt (Potenzen multiplizieren):
$$ \sqrt[n]{b} \cdot (\sqrt[n]{b})^{n-1} = (\sqrt[n]{b})^1 \cdot (\sqrt[n]{b})^{n-1} = (\sqrt[n]{b})^{1+n-1} = (\sqrt[n]{b})^{n} $$
Der letzte Schritt ausführlich dargestellt (Wurzeln potenzieren & Wurzel als Potenz):
$$ {\colorbox{yellow}{$(\sqrt[n]{b})^{n}$}} = \sqrt[n]{b^n} = b^\frac{n}{n} = b^1 = {\colorbox{yellow}{$b$}} $$
$$ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \cdot {\color{red}\frac{(\sqrt[3]{2})^{3-1}}{(\sqrt[3]{2})^{3-1}}} = \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{2})^{2}}{\sqrt[3]{2} \cdot (\sqrt[3]{2})^{2}} = \frac{(\sqrt[3]{2})^{2}}{{\colorbox{yellow}{$(\sqrt[3]{2})^{3}$}}} = \frac{(\sqrt[3]{2})^{2}}{{\colorbox{yellow}{$2$}}} $$
$$ \frac{7}{4\sqrt[5]{6}} = \frac{7}{4\sqrt[5]{6}} \cdot {\color{red}\frac{(\sqrt[5]{6})^{5-1}}{(\sqrt[5]{6})^{5-1}}} = \frac{7 \cdot (\sqrt[5]{6})^{4}}{4\sqrt[5]{6} \cdot (\sqrt[5]{6})^{4}} = \frac{7(\sqrt[5]{6})^{4}}{4{\colorbox{yellow}{$(\sqrt[5]{6})^{5}$}}} = \frac{7(\sqrt[5]{6})^{4}}{4 \cdot {\colorbox{yellow}{$6$}}} = \frac{7(\sqrt[5]{6})^{4}}{24} $$
Summe
Erforderliches Vorwissen
$$ \begin{align*} \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} &= \frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}} \\[5px] &= \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{{\color{maroon}(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}} \\[5px] &= \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{{\color{maroon}(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}} \\[5px] &= \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} \end{align*} $$
Bruch erweitern mit dem Term, der im Nenner steht, wobei das positive Vorzeichen durch ein negatives ersetzt wird.
$$ \begin{align*} \frac{1}{2 + \sqrt{3}} &= \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot {\color{red}\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}} \\[5px] &= \frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3})}{{\color{maroon}(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}} \\[5px] &= \frac{2 - \sqrt{3}}{{\color{maroon}(2)^2 - (\sqrt{3})^2}} \\[5px] &= \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} \\[5px] &= \frac{2 - \sqrt{3}}{1} \\[5px] &= 2 - \sqrt{3} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} &= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{2}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{7} - \sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{5}(\sqrt{7} - \sqrt{2})}{{\color{maroon}(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{5}\sqrt{7} - \sqrt{5}\sqrt{2}}{{\color{maroon}(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{5 \cdot 2}}{7 - 2} \\[5px] &= \frac{\sqrt{35} - \sqrt{10}}{5} \end{align*} $$
Differenz
Erforderliches Vorwissen
$$ \begin{align*} \frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} &= \frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}} \\[5px] &= \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{{\color{maroon}(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}} \\[5px] &= \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{{\color{maroon}(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}} \\[5px] &= \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b} \end{align*} $$
Bruch erweitern mit dem Term, der im Nenner steht, wobei das negative Vorzeichen durch ein positives ersetzt wird.
$$ \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2} - 3} &= \frac{1}{\sqrt{2} - 3} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{2} +3}{\sqrt{2} +3}} \\[5px] &= \frac{1 \cdot (\sqrt{2} + 3)}{{\color{maroon}(\sqrt{2} - 3)(\sqrt{2} + 3)}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{2} + 3}{{\color{maroon}(\sqrt{2})^2 - (3)^2}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{2} + 3}{2 - 9} \\[5px] &= \frac{\sqrt{2} + 3}{-7} \\[5px] &= -\frac{\sqrt{2} + 3}{7} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \cdot {\color{red}\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{{\color{maroon}(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})}} \qquad {\color{maroon}\text{3. Binomische Formel}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{3}\sqrt{7} + \sqrt{3}\sqrt{5}}{{\color{maroon}(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}} \\[5px] &= \frac{\sqrt{3 \cdot 7} + \sqrt{3 \cdot 5}}{7 - 5} \\[5px] &= \frac{\sqrt{21} + \sqrt{15}}{2} \end{align*} $$
