Brüche kürzen
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Kürzen von Brüchen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein Bruch?
Einordnung
Eine Torte wird in acht gleich große Teile geteilt. Jedes Stück hat dann eine Größe von einem Achtel ($\frac{1}{8}$) der Torte.
Es kommen vier Gäste, von denen jeder 2 Stück Torte (= $\frac{2}{8}$) isst.
Wenn man je zwei Stücke der obigen Torte zusammenklebt, müsste jeder Gast nur noch ein Stück (= $\frac{1}{4}$) essen, um auf dieselbe Menge zu kommen wie oben.
Offenbar gilt:
$$ \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$
Das Umformen von $\frac{2}{8}$ zu $\frac{1}{4}$ bezeichnet man als Kürzen
.
Kürzen heißt, die Einteilung oder Stückelung eines Bruches zu vergröbern.
Die Einteilung wird in unserem Beispiel von 8 kleinen auf 4 große Stücke vergröbert.
Satz
Jeder Bruch steht für eine bestimmte Zahl, die der Wert
des Bruchs genannt wird.
Zu jedem Bruch gibt es unendlich viele weitere Brüche mit demselben Wert.
$$ \frac{1}{4} = 0{,}25 $$
$$ \frac{1 \cdot {\color{red}2}}{4 \cdot {\color{red}2}} = \frac{2}{8} = 0{,}25 $$
$$ \frac{1 \cdot {\color{red}3}}{4 \cdot {\color{red}3}} = \frac{3}{12} = 0{,}25 $$
$$ \frac{1 \cdot {\color{red}4}}{4 \cdot {\color{red}4}} = \frac{4}{16} = 0{,}25 $$
…
Aus dem Kapitel Brüche erweitern wissen wir bereits, dass gilt:
$$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot {\color{red}c}}{b \cdot {\color{red}c}} \quad \text{mit } c \neq 0 $$
Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben Zahl multipliziert.
Umgekehrt gilt:
$$ \frac{ac : {\color{red}c}}{bc : {\color{red}c}} = \frac{a}{b} $$
Der Wert der durch einen Bruch dargestellten Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler dividiert.
Die Zahl, durch die man Zähler und Nenner beim Kürzen dividiert, heißt Kürzungszahl.
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Kürzungszahl.
Beispiel
Kürze $\frac{6}{9}$ mit $3$.
Zähler und Nenner durch $3$ dividieren
$$ \frac{6: {\color{red}3}}{9 : {\color{red}3}} = \frac{2}{3} $$
Brüche vollständig kürzen
Das Ziel beim Kürzen ist meistens, den Bruch in eine Form zu bringen, in der sich der Bruch nicht mehr weiter kürzen lässt.
Ein Bruch, der sich nicht mehr weiter kürzen lässt, heißt vollständig gekürzt.
Das ist genau dann der Fall, wenn es keinen gemeinsamen Teiler (größer als $1$) von Zähler und Nenner gibt.
Wir kürzen den Bruch $\frac{18}{27}$ mit der Kürzungszahl $3$ auf $\frac{6}{9}$.
Der Bruch $\frac{6}{9}$ ist nicht vollständig gekürzt, da Zähler und Nenner noch durch $3$ dividiert werden können.
Wir kürzen den Bruch $\frac{18}{27}$ mit der Kürzungszahl $9$ auf $\frac{2}{3}$.
Der Bruch $\frac{2}{3}$ ist vollständig gekürzt, da Zähler und Nenner (außer $1$) keinen gemeinsamen Teiler besitzen.
Um einen Bruch vollständig zu kürzen, muss man den Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) des Zählers und des Nenners kürzen:
Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen
Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, streichen
zu 1)
Zunächst zerlegen wir den Zähler und den Nenner des Bruchs in Faktoren. Diesen Vorgang bezeichnet man auch als Faktorisieren
. Das Faktorisieren von Brüchen, deren Zähler und Nenner lediglich aus Zahlen bestehen, erfolgt mittels Primfaktorzerlegung.
zu 2)
Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).
$$ \frac{2}{6} =\frac{2}{2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2}}{\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{1}{3} $$
$$ \frac{8}{12} =\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3} =\frac{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 2}{\bcancel{2} \cdot\bcancel{2} \cdot 3} = \frac{2}{3} $$
$$ \frac{18}{27} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2 \cdot \bcancel{3} \cdot \bcancel{3}}{3 \cdot \bcancel{3} \cdot \bcancel{3}} = \frac{2}{3} $$
Wie man Brüche kürzt, in denen Variablen vorkommen, erfährst du im Kapitel Bruchterme kürzen. Du wirst sehen, dass die Vorgehensweise (fast) genau die gleiche ist.
