Bruchterme kürzen
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Kürzen von Bruchtermen.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Einen Bruchterm zu kürzen, bedeutet, den Zähler und Nenner des Bruchs durch einen gemeinsamen Teiler zu dividieren.
Kürze $\frac{6ab}{9ac}$ mit $a$.
$$ \frac{6ab: {\color{red}a}}{9ac : {\color{red}a}} = \frac{6b}{9c} $$
Der Faktor, durch den man Zähler und Nenner beim Kürzen dividiert, heißt Kürzungsfaktor.
Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Kürzungsfaktor.
Bruchterme vollständig kürzen
Das Ziel beim Kürzen ist meistens, den Bruch in eine Form zu bringen, in der sich der Bruch nicht mehr weiter kürzen lässt.
Ein Bruch, der sich nicht mehr weiter kürzen lässt, heißt vollständig gekürzt.
Wir kürzen den Bruch $\frac{6ab}{9ac}$ mit dem Kürzungsfaktor $a$ auf $\frac{6b}{9c}$.
Der Bruch $\frac{6b}{9c}$ ist nicht vollständig gekürzt, da Zähler und Nenner noch durch $3$ dividiert werden können.
Wir kürzen den Bruch $\frac{6ab}{9ac}$ mit dem Kürzungsfaktor $3a$ auf $\frac{2b}{3c}$.
Der Bruch $\frac{2b}{3c}$ ist vollständig gekürzt, da Zähler und Nenner (außer $1$) keinen gemeinsamen Teiler besitzen.
Um einen Bruch vollständig zu kürzen, muss man den Bruch mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) des Zählers und des Nenners kürzen:
Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen
Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, streichen
zu 1)
Zunächst zerlegen wir den Zähler und Nenner des Bruchs in Faktoren. Diesen Vorgang bezeichnet man auch als Faktorisieren
. Beim Faktorisieren werden natürliche Zahlen mittels Primfaktorzerlegung in Faktoren zerlegt. Summen und Differenzen lassen sich meist durch Ausklammern oder das Anwenden der binomischen Formeln in Faktoren umwandeln.
zu 2)
Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).
$$ \frac{2ab}{4ac} = \frac{2 \cdot a \cdot b}{2 \cdot 2 \cdot a \cdot c} = \frac{\bcancel{2} \cdot \bcancel{a} \cdot b}{\bcancel{2} \cdot 2 \cdot \bcancel{a} \cdot c} = \frac{b}{2c} $$
$$ \frac{3}{3a+3b} = \frac{3}{3 \cdot (a+b)} =\frac{\bcancel{3}}{\bcancel{3} \cdot (a+b)} = \frac{1}{a+b} $$
$$ \frac{a+4}{a^2+8a+16} = \frac{a+4}{(a+4) \cdot (a+4)} = \frac{\bcancel{a+4}}{\bcancel{(a+4)} \cdot (a+4)} = \frac{1}{a+4} $$
Bruchterme richtig kürzen
Nur Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen gekürzt werden.
Besonders wichtig ist die Beachtung des folgenden Merkspruchs:
Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!
Der Bruch $\frac{x}{x \cdot y}$ lässt sich kürzen: $\frac{\cancel{x}}{\cancel{x} \cdot y} = \frac{1}{y}$
Der Bruch $\frac{x+1}{2(x+1)}$ lässt sich kürzen: $\frac{\cancel{x+1}}{2\cancel{(x+1)}} = \frac{1}{2}$
Anmerkung
Du fragst dich jetzt bestimmt, wieso man $x+1$ kürzen darf, obwohl doch im Zähler eine Summe steht.
Durch einen kleinen Trick, der immer funktioniert, können wir die Summe in ein Produkt umwandeln. Wir multiplizieren in diesem Fall den Zähler mit $1$:
$$ \frac{1 \cdot (x+1)}{2 \cdot (x+1)} $$
Jetzt steht im Zähler keine Summe mehr, sondern ein Produkt. Kürzen ist dann natürlich erlaubt!
