Bruchterme subtrahieren
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Subtrahieren von Bruchtermen.
Erforderliches Vorwissen
Gleichnamige Bruchterme subtrahieren
$$ \frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}} $$
In Worten: Zwei Bruchterme mit gleichem Nenner werden subtrahiert, indem man ihre Zähler subtrahiert.
Der Nenner verändert sich bei der Subtraktion nicht. Er wird einfach beibehalten.
$$ \frac{5}{{\color{green}b}} - \frac{2}{{\color{green}b}} = \frac{5-2}{{\color{green}b}} = \frac{3}{{\color{green}b}} $$
$$ \frac{9c}{{\color{green}ab}} - \frac{4c}{{\color{green}ab}} = \frac{9c-4c}{{\color{green}ab}} = \frac{5c}{{\color{green}ab}} $$
$$ \frac{8 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} - \frac{1 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} = \frac{8 \cdot (a+1) - 1 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} = \frac{7 \cdot (a+1)}{{\color{green}a(b+c)}} $$
Nach dem Subtrahieren lässt sich der Bruchterm oft noch vereinfachen (siehe Bruchterme kürzen).
Ungleichnamige Bruchterme subtrahieren
Brüche faktorisieren
Brüche kürzen
Brüche gleichnamig machen
Hauptnenner bestimmen
Erweiterungsfaktoren berechnen
Brüche auf Hauptnenner erweitern
Brüche subtrahieren
Bruch kürzen
zu 1)
Hauptkapitel: Faktorisieren
- Natürliche Zahlen zerlegen wir mittels Primfaktorzerlegung in Faktoren.
- Summen und Differenzen lassen sich häufig durch Ausklammern oder das Anwenden der binomischen Formeln faktorisieren.
zu 2)
Um die nachfolgenden Rechenschritte zu vereinfachen, kürzen wir die einzelnen Brüche, indem wir die gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner streichen.
zu 3)
Hauptkapitel: Brüche gleichnamig machen
Da man nur gleichnamige Brüche subtrahieren kann, müssen wir die Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner, den sog. Hauptnenner
, bringen. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der gegebenen Brüche. Im Anschluss daran dividieren wir den Hauptnenner nacheinander durch die Nenner, um die Erweiterungsfaktoren zu berechnen. Diese verraten uns, wie wir die einzelnen Brüche erweitern müssen, um sie auf den Hauptnenner zu bringen.
zu 4)
Wie man gleichnamige Brüche subtrahiert, haben wir im vorherigen Abschnitt gelernt.
zu 5)
Alle Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben, dürfen wir streichen (kürzen).
Berechne $\frac{2}{10x}-\frac{2}{6y}$.
Brüche faktorisieren
$$ = \frac{2}{2 \cdot 5 \cdot x} - \frac{2}{2 \cdot 3 \cdot y} $$
Brüche kürzen
$$ = \frac{\cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 5 \cdot x} - \frac{\cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 3 \cdot y} $$
$$ = \frac{1}{{\color{blue}5x}} - \frac{1}{{\color{blue}3y}} $$
Brüche gleichnamig machen
Hauptnenner bestimmen
$$ \text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{$5$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$x$}} $$
$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$3$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$y$}} $$
$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$5$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$x$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$3$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$y$}} = {\color{green}15xy} $$
Erweiterungsfaktoren berechnen
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5x}} = \frac{}{{\color{green}15xy}} \qquad \Rightarrow {\color{green}15xy}:{\color{blue}5x} = {\color{red}3y} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}3y}} = \frac{}{{\color{green}15xy}} \qquad \Rightarrow {\color{green}15xy}:{\color{blue}3y} = {\color{red}5x} $$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}5x}} = \frac{1}{{\color{blue}5x}} \cdot \frac{{\color{red}3y}}{{\color{red}3y}} = \frac{3y}{{\color{green}15xy}} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}3y}} = \frac{1}{{\color{blue}3y}} \cdot \frac{{\color{red}5x}}{{\color{red}5x}} = \frac{5x}{{\color{green}15xy}} $$
Brüche subtrahieren
$$ \frac{3y}{{\color{green}15xy}} - \frac{5x}{{\color{green}15xy}} = \frac{3y - 5x}{{\color{green}15xy}} $$
Bruch kürzen
Bruch bereits vollständig gekürzt!
Berechne $\frac{1}{7a+7b}-\frac{1}{c}$.
Brüche faktorisieren
$$ = \frac{1}{{\color{blue}7(a+b)}} - \frac{1}{{\color{blue}c}} $$
Brüche kürzen
Brüche bereits vollständig gekürzt!
Brüche gleichnamig machen
Hauptnenner bestimmen
$$ \text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{$7$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$(a+b)$}} $$
$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$c$}} $$
$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$7$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$(a+b)$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$c$}}= {\color{green}7c(a+b)} $$
Erweiterungsfaktoren berechnen
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}7(a+b)}} = \frac{}{{\color{green}7c(a+b)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}7c(a+b)}:{\color{blue}7(a+b)} = {\color{red}c} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}c}} = \frac{}{{\color{green}7c(a+b)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}7c(a+b)}:{\color{blue}c} = {\color{red}7(a+b)} $$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}7(a+b)}} = \frac{1}{{\color{blue}7(a+b)}} \cdot \frac{{\color{red}c}}{{\color{red}c}} = \frac{c}{{\color{green}7c(a+b)}} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}c}} = \frac{1}{{\color{blue}c}} \cdot \frac{{\color{red}7(a+b)}}{{\color{red}7(a+b)}} = \frac{7(a+b)}{{\color{green}7c(a+b)}} $$
Brüche subtrahieren
$$ \frac{c}{{\color{green}7c(a+b)}} - \frac{7(a+b)}{{\color{green}7c(a+b)}} = \frac{c - 7(a+b)}{{\color{green}7c(a+b)}} $$
Bruch kürzen
Bruch bereits vollständig gekürzt!
Berechne $\frac{a-5}{a^2-10a+25}-\frac{1}{a+5}$.
Brüche faktorisieren
$$ = \frac{a-5}{(a-5) \cdot (a-5)} - \frac{1}{a+5} $$
Brüche kürzen
$$ = \frac{\cancel{a-5}}{\cancel{(a-5)} \cdot (a-5)} - \frac{1}{a+5} $$
$$ = \frac{1}{{\color{blue}a-5}} - \frac{1}{{\color{blue}a+5}} $$
Brüche gleichnamig machen
Hauptnenner bestimmen
$$ \text{Nenner 1} = {\colorbox{yellow}{$a-5$}} $$
$$ \text{Nenner 2} = {\colorbox{yellow}{$a+5$}} $$
$$ \text{Hauptnenner} = {\colorbox{yellow}{$(a-5)$}} \cdot {\colorbox{yellow}{$(a+5)$}} = {\color{green}(a-5)(a+5)} $$
Erweiterungsfaktoren berechnen
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a-5}} = \frac{}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}(a-5)(a+5)}:{\color{blue}(a-5)} = {\color{red}a+5} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a+5}} = \frac{}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} \qquad \Rightarrow {\color{green}(a-5)(a+5)}:{\color{blue}(a+5)} = {\color{red}a-5} $$
Brüche auf Hauptnenner erweitern
$$ \text{(1)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a-5}} = \frac{1}{{\color{blue}a-5}} \cdot \frac{{\color{red}a+5}}{{\color{red}a+5}} = \frac{a+5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} $$
$$ \text{(2)} \quad \frac{1}{{\color{blue}a+5}} = \frac{1}{{\color{blue}a+5}} \cdot \frac{{\color{red}a-5}}{{\color{red}a-5}} = \frac{a-5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} $$
Brüche subtrahieren
$$\begin{align*} \frac{a+5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} - \frac{a-5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} &= \frac{a+5 - (a-5)}{{\color{green}(a-5)(a+5)}}\\ &= \frac{a+5-a+5}{{\color{green}(a-5)(a+5)}}\\ &= \frac{10}{{\color{green}(a-5)(a+5)}} \end{align*}$$
Bruch kürzen
Bruch bereits vollständig gekürzt!
