Kongruenzsätze
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter den Kongruenzsätzen versteht.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Als Kongruenzssätze bezeichnet man Aussagen, anhand derer sich die Kongruenz von Dreiecken einfach nachweisen lässt.
In einem anderen Kapitel haben wir die Kongruenz folgendermaßen definiert:
Unter der Kongruenz geometrischer Figuren versteht man allgemein ihre Deckungsgleichheit, d. h. die völlige Übereinstimmung in Form und Größe.
Zwei kongruente Figuren kannst du dir so vorstellen:
Man kann die eine Figur mit der Schere ausschneiden und so auf die andere legen, dass beide genau übereinander liegen, einander also exakt überdecken
. Man nennt kongruente Figuren daher auch deckungsgleich.
Wann sind Dreiecke kongruent?
Laut Definition:
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in Form und Größe (Fläche) übereinstimmen.
Anders gesagt:
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten und Winkeln übereinstimmen.
Die Kongruenzsätze definieren Eigenschaften, mit deren Hilfe wir die Kongruenz von Dreiecken einfach nachweisen können:
Die Kongruenzssätze im Überblick
SSS-Satz
1. Kongruenzssatz (SSS-Satz)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seiten übereinstimmen.
SWS-Satz
2. Kongruenzssatz (SWS-Satz)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
WSW-Satz
3. Kongruenzssatz (WSW-Satz)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen.
SSW-Satz
4. Kongruenzssatz (SSW-Satz)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.
WWW ist kein Kongruenzsatz!
Zwei Dreiecke, die in allen drei Winkeln übereinstimmen, sind nicht kongruent. Es handelt sich dann lediglich um ähnliche Dreiecke (Ähnlichkeit). Ähnliche Dreiecke stimmen zwar in ihrer Form, nicht jedoch in ihrer Größe überein.
In der Abbildung gilt:
$\alpha_1 = \alpha_2$$\beta_1 = \beta_2$$\gamma_1 = \gamma_2$
Obwohl die Dreiecke in allen Winkeln übereinstimmen, sind sie nicht kongruent. Die Dreiecke besitzen zwar dieselbe Form, aber eben nicht dieselbe Größe. Daraus folgt, dass die Dreicke ähnlich sind (Ähnlichkeitssätze).
Zusammenfassung
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
- drei Seiten (SSS) oder
- zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel (SWS) oder
- einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (WSW) oder
- zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel (SSW)
übereinstimmen.
