Ähnlichkeit
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was sich hinter der Ähnlichkeit verbirgt.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Die völlige Übereinstimmung geometrischer Figuren in ihrer Form, ohne dass ihre Größe übereinstimmen muss, heißt Ähnlichkeit.
In der Abbildung siehst du zwei ähnliche Figuren. Die rechte Figur hat die gleiche Form wie die linke Figur. Lediglich die Größe der beiden Figuren ist unterschiedlich. Außerdem ist die rechte Figur im Gegensatz zur linken ein wenig verschoben, d. h. die beiden Figuren befinden sich nicht am selben Ort.
Wann sind geometrische Figuren ähnlich?
Laut Definition:
Geometrische Figuren sind ähnlich, wenn sie in ihrer Form übereinstimmen.
Anders gesagt:
Geometrische Figuren sind ähnlich, wenn sie in allen Seitenverhältnissen und Winkeln übereinstimmen.
Wie erhält man eine ähnliche Abbildung einer geometrischen Figur?
…durch Streckung (> zentrischen Streckung) und ggf. durch Verschiebung, Drehung, Spiegelung oder eine Kombination dieser drei sog. geometrischen Transformationen
.
Dabei kann man zwischen gleichsinnig ähnlichen Figuren und nichtgleichsinnig ähnlichen Figuren unterscheiden:
- Gleichsinnig ähnliche Figuren lassen sich durch Streckung sowie ggf. durch Verschiebung oder Drehung (sowie durch ihre Kombination) ineinander überführen.
- Bei nichtgleichsinnig ähnlichen Figuren ist zusätzlich noch die Spiegelung an einer Gerade erforderlich.
Ähnlichkeit und Kongruenz
Die Kongruenz ist ein Spezialfall der Ähnlichkeit.
Die oberen beiden Figuren sind kongruent, da sie sowohl in Form als auch Größe übereinstimmen.
Die untere Figur ist zu den beiden oberen ähnlich, da die Figuren nur in ihrer Form nicht jedoch in ihrer Größe übereinstimmen.
- Kongruente Figuren stimmen in ihrer Form und Größe völlig überein. Sie lassen sich durch Verschiebung, Drehung, Spiegelung oder deren Kombination ineinander überführen.
- Ähnliche Figuren stimmen zwar in ihrer Form völlig überein, nicht jedoch in ihrer Größe. Sie lassen sich durch Streckung (> zentrischen Streckung) und durch Verschiebung, Drehung, Spiegelung oder deren Kombination ineinander überführen.
Das Konzept der Ähnlichkeit erweitert somit die Kongruenz von Figuren um die Möglichkeit der Streckung.
