Punkt
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Mathematiker unter einem Punkt verstehen.
Punkte im Alltag
Ist dir eigentlich bewusst, dass ohne Punkte gar nichts läuft? Hier einige Beispiele:
Autofahrer bekommen einen Punkt im Verkehrszentralregister in Flensburg, wenn sie durch ihr Verhalten im Straßenverkehr die Sicherheit ihrer Mitbürger gefährden.
Im Deutschunterricht haben wir den Punkt als Satzzeichen kennengelernt. Schon Grundschüler wissen, dass Aussagesätze mit einem Punkt beendet werden.
So geläufig uns die obigen Bedeutungen auch sind, mit Mathematik hat das alles nichts zu tun. Es gibt jedoch ein Wort aus unserer Alltagssprache, dass der mathematischen Bedeutung eines Punktes ziemlich nahe kommt. Gemeint ist der Treffpunkt, also eine bestimmte Position.
Im Alltag spielt es keine Rolle, ob sich David und Anna $30\ \textrm{cm}$, $2\ \textrm{m}$ oder $7{,}5\ \textrm{m}$ vor dem Kinosaal treffen. Mathematiker wollen es aber immer ganz genau wissen. Es verwundert uns deshalb nicht, dass sie ein geometrisches Gebilde definiert haben, dessen einzige Aufgabe es ist, eine exakte Position wiederzugeben.
Punkte in der Mathematik
Ein Punkt repräsentiert eine exakte Position.
Wenn dir noch nicht ganz klar ist, was ein Punkt ist, dann schnapp dir ein beliebiges Blatt Papier.
Zuerst falten wir das Papier von der linken oberen auf die rechte untere Ecke. Wenn du das Papier wieder aufklappst, solltest du deutlich eine Faltlinie sehen.
In der Abbildung ist die Faltlinie durch eine gerade blaue Linie dargestellt.
Jetzt falten wir das Papier von der rechten oberen auf die linke untere Ecke. Wenn du das Papier aufklappt, siehst du zwei gerade Linien, die sich in einem Punkt – also einer exakten Position auf dem Papier – schneiden.
In der Abbildung ist der Schnittpunkt durch einen kleinen roten Kreis hervorgehoben.
Mathematiker haben Spaß am Falten. Zumindest lässt das folgende Definition vermuten:
Ein Punkt ist die Schnittstelle zweier gerader Linien.
Wir haben bereits erfahren, dass ein Punkt eine Position repräsentiert und der Schnittstelle zweier gerader Linien entspricht. Eine wichtige Eigenschaft eines Punktes fehlt aber noch:
Ein Punkt hat keine Ausdehnung (Dimension).
Was bedeutet das? Ganz einfach: Ein Punkt hat weder eine Länge, noch eine Breite oder Höhe.
Bildliche Darstellung von Punkten
Nach Betrachtung der obigen Abbildung könnte der Laie zu dem Schluss kommen, dass ein Punkt nichts anderes ist als ein kleiner Kreis. Das ist jedoch falsch! Ein Punkt hat nämlich im Gegensatz zu einem Kreis keine Größe. Mathematiker würden das so formulieren: Ein Kreis ist ein zweidimensionales geometrisches Gebilde, also ein Objekt mit zwei Ausdehnungen – einer Länge und einer Breite. Ein Punkt hingegen ist dimensionslos, d. h. er hat keine Ausdehnung.
Ein Punkt ist eine gedachte (!) Positionsangabe. Genau genommen könnte ein Punkt nicht gezeichnet werden. Die Darstellung als kleiner Kreis dient lediglich zur Veranschaulichung.
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass Punkte nicht nur durch Kreise, sondern auch durch andere Symbole, dargestellt werden können. So wird z. B. bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ein Punkt meist durch ein Kreuzchen veranschaulicht:
Bezeichnung von Punkten
In einer Abbildung sind oft mehrere Punkte eingezeichnet. Um diese voneinander unterscheiden zu können, geben wir jedem Punkt einen eigenen Namen.
Punkte werden gewöhnlich mit lateinischen Großbuchstaben ($A$, $B$, $C$…) bezeichnet.
Zahlenmäßige Darstellung von Punkten
Ich weiß nicht, ob du es schon wusstest, aber Mathematiker lieben Zahlen. Es stellt sich deshalb die Frage, ob Punkte nicht nur bildlich, sondern auch zahlenmäßig dargestellt werden können. Die Antwort ist natürlich ja. Dazu brauchen wir eigentlich nur ein Koordinatensystem; das ist eine Art Gitternetz, wie du es vom Schachbrett oder dem Spiel Schiffe versenken
her kennst. Das Gitternetz, das wir im Mathematikunterricht einsetzen, heißt kartesisches Koordinatensystem.
