Ähnlichkeitssätze
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter den Ähnlichkeitssätzen versteht.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Als Ähnlichkeitssätze bezeichnet man Aussagen, anhand derer sich einfach die Ähnlichkeit von Dreiecken nachweisen lässt.
In einem anderen Kapitel haben wir die Ähnlichkeit folgendermaßen definiert:
Unter der Ähnlichkeit geometrischer Figuren versteht man allgemein die völlige Übereinstimmung ihrer Form, ohne dass ihre Größe übereinstimmt.
Wann sind Dreiecke ähnlich?
Laut Definition:
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in ihrer Form übereinstimmen.
Anders gesagt:
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in allen Seitenverhältnissen und Winkeln übereinstimmen.
Die Ähnlichkeitssätze definieren Eigenschaften, mit deren Hilfe wir die Ähnlichkeit von Dreiecken einfach nachweisen können:
Die Ähnlichkeitssätze im Überblick
WW-Satz
1. Ähnlichkeitssatz (WW-Satz)
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei – und somit auch in drei – Winkeln übereinstimmen.
S:S:S-Satz
2. Ähnlichkeitssatz (S:S:S-Satz)
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen.
S:W:S-Satz
3. Ähnlichkeitssatz (S:W:S-Satz)
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen.
S:S:W-Satz
4. Ähnlichkeitssatz (S:S:W-Satz)
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in im Verhältnis zweier Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.
Zusammenfassung
Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in
- zwei (und somit drei) Winkeln (WW) oder
- allen Verhältnissen entsprechender Seiten (S:S:S) oder
- einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten (S:W:S) oder
- im Verhältnis zweier Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel (S:S:W)
übereinstimmen.
Die Ähnlichkeitssätze helfen uns bei der Überprüfung von Dreiecken auf Ähnlichkeit. Die zentrische Streckung dagegen hilft bei der Erzeugung von ähnlichen Dreiecken.
