Sinus
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Sinus versteht.
In der Schule definiert man den Sinus zunächst im rechtwinkligen Dreieck für Winkel zwischen $\boldsymbol{0^\circ}$ und $\boldsymbol{90^\circ}$.
Danach wird die Definition mithilfe des Einheitskreises auf alle Winkel erweitert.
Erforderliches Vorwissen
Definition im rechtwinkligen Dreieck
Der Sinus ist eine Winkelfunktion.
Winkelfunktionen sind definiert als das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck.
Ein Verhältnis entspricht in der Mathematik dem Quotienten zweier Größen.
Die Abbildung soll bei der Definition des Sinus helfen.
Es gilt:
Die Seite $b$ ist die Ankathete zu $\alpha$.
Die Seite $a$ ist die Gegenkathete zu $\alpha$.
Die Seite $c$ ist die Hypotenuse.
Mehr über diese Begriffe erfährst du im Kapitel zu den rechtwinkligen Dreiecken.
Der Sinus des Winkels $\alpha$ entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse:
$$ \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c} $$
Im rechtwinkligen Dreieck können wir lediglich zeigen, dass der Sinus für Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ definiert ist. Um diese Definition zu erweitern, betrachten wir den Sinus im Einheitskreis.
Definition im Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Radius die Länge $1$ hat und dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
Danach zeichnen wir den Winkel ein, der zwischen der $x$-Achse und der Gerade durch Koordinatenursprung und dem Punkt $P$ verläuft.
Es stellt sich die Frage, welchen Wert der Sinus dieses Winkels annimmt.
Wenn wir den Punkt $P$ senkrecht mit der $x$-Achse verbinden (gestrichelte Linie), erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses hilft uns dabei, den Sinus des Winkels zu bestimmen.
Zur Verdeutlichung haben wir die Hypotenuse und die Gegenkathete des Winkels $\alpha$ in der Zeichnung beschriftet.
Wir wissen bereits, dass gilt:
$$ \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} $$
…aber wie hilft uns das jetzt weiter?
In der Abbildung ist schön zu erkennen, dass die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks dem Radius des Kreises entspricht.
Der Einheitskreis hat laut Definition einen Radius von $1$. Daraus folgt:
$$ \sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} =\frac{\text{Gegenkathete}}{1} =\text{Gegenkathete} $$
…und welche Länge hat jetzt die Gegenkathete?
Die Länge der Gegenkathete entspricht der $y$-Koordinate des Punktes $P$.
Unter dem Sinus eines beliebigen Winkels $\alpha$ versteht man die $\boldsymbol{y}$-Koordinate des zu $\alpha$ gehörenden Punktes $P$ auf dem Einheitskreis.
Wir haben den Sinus zunächst nur über rechtwinklige Dreiecke definiert, weshalb sich unsere Betrachtung auf Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ beschränkte. Mithilfe des Einheitskreises lässt sich jedoch zeigen, dass der Sinus für jeden beliebigen (positiven und negativen) Winkel definiert ist. Um das zu veranschaulichen, musst du nur irgendeinen Winkel (egal ob $45^\circ$, $450^\circ$ oder $-60^\circ$) in den Einheitskreis einzeichnen und die $y$-Koordinate des Punktes $P$ ablesen.
Sinus berechnen
Um Sinuswerte mithilfe deines Taschenrechners zu berechnen, macht es keinen Unterschied, ob die Winkel im Gradmaß (z. B. $90^\circ$) oder im Bogenmaß (z. B. $\frac{\pi}{2}$) gegeben sind. Wichtig ist nur, dass du in das Setup deines Taschenrechner gehst und dort die richtige Einstellung wählst:
DEG (engl. degree) steht für das Gradmaß, RAD (engl. radian) für das Bogenmaß.
Die folgende Tabelle zeigt einige wichtige Sinuswerte:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \alpha & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\ & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\ \hline \sin \alpha & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \hline &&&&&&&&& \\ &&&&&&&&& \\ \hline \alpha & 180^\circ & 210^\circ & 225^\circ & 240^\circ & 270^\circ & 300^\circ & 315^\circ & 330^\circ & 360^\circ \\ & {\color{gray}0\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}\!+\!\pi} & {\color{gray}\pi\!+\!\pi} \\ \hline \sin \alpha & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \end{array} $$
In der obigen Tabelle können wir einige interessante Eigenschaften beobachten:
$$ \sin(\alpha + 180^\circ) = \sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha $$
$$ \sin(\alpha + 360^\circ) = \sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha $$
Es lohnt sich, wenn man sich einige Sinuswerte auswendig merkt.
Eselsbrücke
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c} \alpha & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ \\ & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} \\ \hline \sin \alpha & \frac{\sqrt{0}}{2} & \frac{\sqrt{1}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{4}}{2} \end{array} $$
