Cotangens
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Cotangens versteht.
In der Schule definiert man den Cotangens erst im rechtwinkligen Dreieck für Winkel zwischen $\boldsymbol{0^\circ}$ und $\boldsymbol{90^\circ}$.
Danach wird die Definition mithilfe des Einheitskreises auf alle Winkel erweitert.
Erforderliches Vorwissen
Definition im rechtwinkligen Dreieck
Der Cotangens ist eine Winkelfunktion.
Winkelfunktionen sind definiert als das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck.
Ein Verhältnis entspricht in der Mathematik dem Quotienten zweier Größen.
Die Abbildung soll bei der Definition des Contangens helfen.
Es gilt:
Die Seite $b$ ist die Ankathete zu $\alpha$.
Die Seite $a$ ist die Gegenkathete zu $\alpha$.
Die Seite $c$ ist die Hypotenuse.
Mehr über diese Begriffe erfährst du im Kapitel zu den rechtwinkligen Dreiecken.
Der Cotangens des Winkels $\alpha$ entspricht dem Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:
$$ \cot \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{b}{a} $$
Der Cotangens ist der Kehrwert des Tangens: $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$.
Im rechtwinkligen Dreieck können wir nur zeigen, dass der Cotangens für Winkel zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ definiert ist. Um diese Definition zu erweitern, betrachten wir den Cotangens im Einheitskreis.
Definition im Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Radius die Länge $1$ hat und dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
Danach zeichnen wir den Winkel ein, der zwischen der $x$-Achse und der Gerade durch Koordinatenursprung und dem Punkt $P$ verläuft.
Es stellt sich die Frage, welchen Wert der Tangens dieses Winkels annimmt.
Wenn wir den Punkt $P$ senkrecht mit der $x$-Achse verbinden (gestrichelte Linie), erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses hilft uns dabei, den Tangens des Winkels zu bestimmen.
Zur Verdeutlichung haben wir die Gegenkathete und die Ankathete des Winkels $\alpha$ in der Zeichnung beschriftet.
Wir wissen bereits, dass gilt:
$$ \cot \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} $$
Leider können wir an dieser Stelle noch nicht den Cotangens aus der Zeichnung ablesen. Wir müssen erst einen kleinen Trick anwenden.
Wir verschieben die Ankathete solange parallel, bis sie zu einer Tangente des Kreises wird. Laut dem Strahlensatz dürfen wir die Ankathete parallel verschieben, denn dadurch ändert sich das Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete nicht!
…aber was hat uns diese Parallelverschiebung eigentlich gebracht?
Jetzt können wir den Cotangens einfach ablesen!
In der Abbildung ist schön zu erkennen, dass die Länge der Gegenkathete durch die Parallelverschiebung der Ankathete nun dem Radius des Kreises entspicht.
Der Einheitskreis hat laut Definition einen Radius von $1$. Daraus folgt:
$$ \cot \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} =\frac{\text{Ankathete}}{1} =\text{Ankathete} $$
…und welche Länge hat jetzt die Ankathete?
Die Länge der Ankathete entspricht der $x$-Koordinate des Punktes $P'$.
Unter dem Cotangens eines beliebigen Winkels $\alpha$ versteht man die $\boldsymbol{x}$-Koordinate des zu $\alpha$ gehörenden Punktes $P'$.
Den Punkt $P'$ erhält man durch eine Parallelverschiebung der Ankathete. Dabei wird die Ankathete solange verschoben, bis die Gegenkathete den Wert $1$ annimmt. Die Ankathete wird auf diese Weise zu einer Tangente des Einheitskreises.
Cotangens nicht für alle Winkel definiert!
Den Cotangens können wir auch mithilfe von Sinus und Cosinus definieren:
$$ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$
Warum gilt das?
$$ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}= \frac{ \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} }{ \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} } =\frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}= \cot \alpha $$
In der obigen Formel haben wir die Hypotenuse herausgekürzt.
Vielleicht kannst du dich noch an folgende Regel erinnern:
Der Nenner eines Bruchs darf nie Null werden!
Für Winkel, für die der Sinus gleich Null wird, ist der Cotangens nicht definiert:
$$ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$
Eigentlich logisch, oder? Doch wann wird der Sinus Null?
Der Sinus wird für die Winkel $0^\circ$, $180^\circ$, $360^\circ$ usw. gleich Null.
Für diese Winkel ist der Cotangens nicht definiert!
Cotangens berechnen
Um Cotangenswerte mithilfe deines Taschenrechners zu berechnen, spielt es keine Rolle, ob die Winkel im Gradmaß (z. B. $90^\circ$) oder im Bogenmaß (z. B. $\frac{\pi}{2}$) gegeben sind. Wichtig ist nur, dass du in das Setup deines Taschenrechner gehst und dort die richtige Einstellung wählst:
DEG (engl. degree) steht für das Gradmaß, RAD (engl. radian) für das Bogenmaß.
Die meisten handelsüblichen Taschenrechner besitzen keine COT-Taste.
Um den Cotangens zu berechnen, musst du dann rechnen: $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$.
Die folgende Tabelle zeigt einige wichtige Cotangenswerte:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \alpha & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\ & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\ \hline \cot \alpha & \text{n. def.} & \sqrt{3} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & -1 & -\sqrt{3} & \text{n. def.} \\ \hline &&&&&&&&& \\ &&&&&&&&& \\ \hline \alpha & 180^\circ & 210^\circ & 225^\circ & 240^\circ & 270^\circ & 300^\circ & 315^\circ & 330^\circ & 360^\circ \\ & {\color{gray}0\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}\!+\!\pi} & {\color{gray}\pi\!+\!\pi} \\ \hline \cot \alpha & \text{n. def.} & \sqrt{3} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & -1 & -\sqrt{3} & \text{n. def.} \end{array} $$
In der obigen Tabelle können wir eine interessante Eigenschaft beobachten:
$$ \cot(\alpha + 180^\circ) = \cot(\alpha + \pi) = \cot \alpha $$
Aus bekannten oder gegebenen Cotangenswerten können wir also weitere Werte berechnen.
