Betrag eines Vektors
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Betrag eines Vektor ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Die Länge eines Vektors heißt Betrag des Vektors.
Anleitung
Ist ein Vektor $\vec{v}$ gegeben
$$ \vec{v}= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
dann berechnet sich der Betrag des Vektors zu
$$ \left|\vec{v}\right| = \sqrt{x^2 + y^2} $$
Beispiel
Berechne den Betrag des Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$.
Formel aufschreiben
$$ \left|\vec{v}\right| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$
Werte einsetzen
$$ \phantom{\left|\vec{v}\right|} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{\left|\vec{v}\right|} &= \sqrt{1 + 4 + 4} \\[5px] &= \sqrt{9} \\[5px] &= 3 \end{align*} $$
Der Vektor hat einen Betrag (eine Länge) von 3 Längeneinheiten.
Herleitung
Wir interessieren uns für die Länge des Vektors $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$.
Diesen Vektor können wir in zwei Vektoren aufteilen, deren Länge wir kennen:
$$ \vec{x_a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \text{ Länge 3} $$
$$ \vec{y_a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \text{ Länge 3} $$
Addiert man diese beiden Vektoren, erhalten wir wieder unseren Vektor $\vec{a}$
$$ \vec{x_a} + \vec{y_a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \vec{a} $$
Wer sich die obige Abbildung noch mal genau anschaut, kann ein rechtwinkliges Dreieck erkennen. Zwei Seitenlängen des Dreiecks kennen wir, die dritte Seitenlänge ist gesucht. Welcome back, lieber Satz des Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$.
Wenn wir die Formel nach einer Seite (z. B. $c$) auflösen
$$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$
dann sieht die Formel schon fast so aus wie die Formel für den Betrag eines Vektors
$$ \left|\vec{v}\right| = \sqrt{x^2 + y^2} $$
Für unser Beispiel gilt
$$ \left|\vec{a}\right| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4{,}24 $$
Wenn du den Zusammenhang zwischen dem Satz des Pythagoras und der Formel zur Berechnung der Länge eines Vektors nicht sofort verstanden hast, ist das nicht schlimm. In der Prüfung musst du nur wissen, wie man den Betrag eines Vektors berechnet.
