Lineare Abhängigkeit dreier Vektoren
In diesem Kapitel schauen wir uns die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Drei Vektoren heißen linear abhängig, wenn es drei Zahlen $\lambda_1$, $\lambda_2$ und $\lambda_3$ gibt, die nicht alle gleich Null sind, so dass gilt:
$$ \lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} + \lambda_3\vec{a_3} = \vec{0} $$
Alternative Formulierung
Drei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt,
$$ \lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} + \lambda_3\vec{a_3} = \vec{0} $$
in der mindestens einer der Koeffizienten $\lambda_1$, $\lambda_2$ bzw. $\lambda_3$ ungleich Null ist.
Verfahren 1
Das 1. Verfahren basiert auf dem Gauß-Algorithmus.
Drei Vektoren des $\mathbb{R}^3$ sind genau dann linear abhängig, wenn die Anwendung des Gauß-Algorithmus zu einer Nullzeile führt.
Sind die Vektoren
$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \qquad \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \text{ und } \quad \vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} $$
linear abhängig?
Aus der Definition
$$ \lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} + \lambda_3\vec{a_3} = \vec{0} $$
ergibt sich aus der Einsetzung der gegebenen Vektoren
$$ \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Jetzt lösen wir das folgende Gleichungssystem mithilfe des Gauß-Algorithmus
$$ \begin{align*} \lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 &= 0 \\ \lambda_1 - \lambda_2 + 3\lambda_3 &= 0 \\ 2\lambda_1 + \lambda_2 + 3\lambda_3 &= 0 \end{align*} $$
Die folgenden Rechenschritte werden nur kurz besprochen, da Kenntnisse über den Gauß-Algorithmus vorausgesetzt werden.
$$ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} $$
1) Berechnung der Null in der 2. Zeile (1. Spalte)
- Zeile - 1. Zeile
$$ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & -1 \\ {\color{red}0} & -4 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} $$
2) Berechnung der Null in der 3. Zeile (1. Spalte)
- Zeile -
$2$$\cdot$1. Zeile
$$ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & -1 \\ {\color{red}0} & -4 & 4 \\ {\color{red}0} & -5 & 5 \end{array} $$
3) Berechnung der Null in der 3. Zeile (2. Spalte)
- Zeile -
$\frac{5}{4}$$\cdot$2. Zeile
$$ \begin{array}{rrr} 1 & 3 & -1 \\ {\color{red}0} & -4 & 4 \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & 0 \end{array} $$
Interpretation des Ergebnisses
Entsteht bei Anwendung des Gauß-Algorithmus eine Nullzeile, besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen (vgl. Kapitel zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme). Infolgedessen sind die Vektoren linear abhängig.
Da die 3. Zeile in unserem Beispiel ausschließlich aus Nullen besteht, sind die drei Vektoren linear abhängig.
Anmerkung: Gibt es für das Gleichungssystem nur eine einzige Lösung, nämlich $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$, so sind die Vektoren linear unabhängig. Eine einzige Lösung gibt es genau dann, wenn das Gleichungssystem nach Anwendung des Gauß-Algorithmus keine Nullzeile besitzt.
Verfahren 2
Eine Alternative zu dem obigen Verfahren ist die Untersuchung der Determinante, die sich aus den drei Vektoren ergibt.
Drei Vektoren des $\mathbb{R}^3$ sind genau dann linear abhängig, wenn ihre Determinante gleich Null ist.
Sind die Vektoren
$$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \qquad \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \text{ und } \quad \vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} $$
linear abhängig?
$$ |D|= \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0 $$
Da die Determinante gleich Null ist, sind die Vektoren linear abhängig.
Eigenschaften
Zwei Vektoren des $\mathbb{R}^3$ sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel sind.
Drei Vektoren des $\mathbb{R}^3$ sind genau dann linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen – dort können sie untereinander auch parallel sein.
Mehr als drei Vektoren des $\mathbb{R}^3$ sind stets linear abhängig.
Begründung zur 3. Eigenschaft
Der $\mathbb{R}^3$ ist definiert als ein Vektorraum, der durch drei linear unabhängige, also nicht parallele Vektoren aufgespannt wird. Diese drei Vektoren nennt man Basis des Vektorraums. Meist verwendet man die sog. Standardbasis (kanonische Basis):
$$ e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; $$
Mithilfe dieser Basis kann jeder (!) andere Vektor des $\mathbb{R}^3$ als Linearkombination geschrieben werden.
$$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} $$
Wir können uns keinen vierten Vektor im $\mathbb{R}^3$ ausdenken, der nicht als Linearkombination der drei Basisvektoren geschrieben werden könnte. Daraus folgt, dass vier (oder mehr) Vektoren im $\mathbb{R}^3$ stets linear abhängig sind.
