3x3 Determinanten berechnen
In diesem Kapitel besprechen wir, wie man eine 3x3 Determinante berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Determinante?
Formel
Gegeben sei eine 3x3 Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$
Die Formel zur Berechnung der Determinante der Matrix ist
$$ \begin{align*} |A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h - g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b \end{align*} $$
Diese Formel heißt Regel von Sarrus, Sarrusche Regel oder Jägerzaun-Regel.
Merkhilfe
Wir schreiben die ersten beiden Spalten noch mal rechts neben die Determinante
$$ |A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \quad \begin{matrix} a & b & \\ d & e & \\ g & h & \end{matrix} $$
Dann bilden wir die Produkte der Elemente der drei Diagonalen, die von links oben nach rechts unten verlaufen. Diese Produkte addieren wir.
$$ a \cdot e \cdot i + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h $$
Davon ziehen wir die Produkte der Elemente der drei Diagonalen, die von links unten nach rechts oben verlaufen, ab.
$$ -g \cdot e \cdot c - h \cdot f \cdot a - i \cdot d \cdot b $$
Beispiele
Berechne die Determinante der Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{align*} |A| &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \\[5px] &= 1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5 \cdot 3 - 8 \cdot 6 \cdot 1 - 9 \cdot 4 \cdot 2 \\[5px] &= 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$
Berechne die Determinante der Matrix
$$ B = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 2 \\ 3 & -3 & 1 \\ 1 & 4 & -4 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{align*} |B| &= \begin{vmatrix} 2 & 5 & 2 \\ 3 & -3 & 1 \\ 1 & 4 & -4 \end{vmatrix} \\[5px] &= 2 \cdot (-3) \cdot (-4) + 5 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 4 - 1 \cdot (-3) \cdot 2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 - (-4) \cdot 3 \cdot 5 \\[5px] &= 24 + 5 + 24 - (-6) - 8 - (-60) \\[5px] &= 111 \end{align*} $$
Berechne die Determinante der Matrix
$$ C = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 9 \\ -1 & 6 & -1 \\ 9 & -1 & 7 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{align*} |C| &= \begin{vmatrix} 5 & -1 & 9 \\ -1 & 6 & -1 \\ 9 & -1 & 7 \end{vmatrix} \\[5px] &= 5 \cdot 6 \cdot 7 + (-1) \cdot (-1) \cdot 9 + 9 \cdot (-1) \cdot (-1) - 9 \cdot 6 \cdot 9 - (-1) \cdot (-1) \cdot 5 - 7 \cdot (-1) \cdot (-1) \\[5px] &= 210 + 9 + 9 - 486 - 5 - 7 \\[5px] &= -270 \end{align*} $$
