Kofaktor
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man den Kofaktor berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Determinante?
Formel
$$ A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij} $$
Dabei ist $A_{ij}$ der Kofaktor, der sich aus der Multiplikation eines Vorzeichenfaktors $(-1)^{i+j}$ mit einer Unterdeterminante $D_{ij}$ zusammensetzt.
Unterdeterminante
$D_{ij}$ ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte streicht.
In den folgenden Beispielen schauen wir uns einige Unterdeterminanten einer 3x3 Determinante an.
$D_{11}$ ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die $1$-te Zeile und die $1$-te Spalte streicht.
$$ D_{11} = \begin{vmatrix} \bcancel{a_{11}} & \bcancel{a_{12}} & \bcancel{a_{13}} \\ \bcancel{a_{21}} & {\color{blue}a_{22}} & {\color{blue}a_{23}} \\ \bcancel{a_{31}} & {\color{blue}a_{32}} & {\color{blue}a_{33}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {\color{blue}a_{22}} & {\color{blue}a_{23}} \\ {\color{blue}a_{32}} & {\color{blue}a_{33}} \end{vmatrix} $$
$D_{13}$ ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die $1$-te Zeile und die $3$-te Spalte streicht.
$$ D_{13} = \begin{vmatrix} \bcancel{a_{11}} & \bcancel{a_{12}} & \bcancel{a_{13}} \\ {\color{blue}a_{21}} & {\color{blue}a_{22}} & \bcancel{a_{23}} \\ {\color{blue}a_{31}} & {\color{blue}a_{32}} & \bcancel{a_{33}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {\color{blue}a_{21}} & {\color{blue}a_{22}} \\ {\color{blue}a_{31}} & {\color{blue}a_{32}} \end{vmatrix} $$
$D_{32}$ ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die $3$-te Zeile und die $2$-te Spalte streicht.
$$ D_{32} = \begin{vmatrix} {\color{blue}a_{11}} & \bcancel{a_{12}} & {\color{blue}a_{13}} \\ {\color{blue}a_{21}} & \bcancel{a_{22}} & {\color{blue}a_{23}} \\ \bcancel{a_{31}} & \bcancel{a_{32}} & \bcancel{a_{33}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {\color{blue}a_{11}} & {\color{blue}a_{13}} \\ {\color{blue}a_{21}} & {\color{blue}a_{23}} \end{vmatrix} $$
Vorzeichenfaktor
Der Vorzeichenfaktor $(-1)^{i+j}$ ordnet jeder Unterdeterminante ein Vorzeichen zu.
Dabei ist $i$ der Zeilenindex und $j$ der Spaltenindex. Ist $i+j$ gerade, so ist das Vorzeichen positiv. Ist $i+j$ ungerade, so ist das Vorzeichen negativ.
Merkhilfe
Dem Element oben links ist ein Pluszeichen zugeordnet.
Von dem Element oben links ausgehend wechseln sich Plus- und Minuszeichen in Zeilen und Spalten ab – ähnlich wie die weißen und schwarzen Kästchen auf einem Schachbrett.
Beispiele
Berechne den Kofaktor $A_{11}$ einer 3x3 Matrix.
$$ \begin{align*} A_{11} & = (-1)^{1+1} \cdot D_{11} \\[5px] &= (-1)^{\colorbox{yellow}{$2$}} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{a_{11}} & \bcancel{a_{12}} & \bcancel{a_{13}} \\ \bcancel{a_{21}} & {\color{blue}a_{22}} & {\color{blue}a_{23}} \\ \bcancel{a_{31}} & {\color{blue}a_{32}} & {\color{blue}a_{33}} \end{vmatrix} \\[5px] &= \colorbox{yellow}{$+$} \begin{vmatrix} {\color{blue}a_{22}} & {\color{blue}a_{23}} \\ {\color{blue}a_{32}} & {\color{blue}a_{33}} \end{vmatrix} \end{align*} $$
Anmerkung
$$ \begin{vmatrix} \colorbox{yellow}{$+$} & - & + \\ -& + & - \\ +& - & + \end{vmatrix} $$
Berechne den Kofaktor $A_{13}$ einer 3x3 Matrix.
$$ \begin{align*} A_{13} & = (-1)^{1+3} \cdot D_{13} \\[5px] &= (-1)^{\colorbox{yellow}{$4$}} \cdot \begin{vmatrix} \bcancel{a_{11}} & \bcancel{a_{12}} & \bcancel{a_{13}} \\ {\color{blue}a_{21}} & {\color{blue}a_{22}} & \bcancel{a_{23}} \\ {\color{blue}a_{31}} & {\color{blue}a_{32}} & \bcancel{a_{33}} \end{vmatrix} \\[5px] &= \colorbox{yellow}{$+$} \begin{vmatrix} {\color{blue}a_{21}} & {\color{blue}a_{22}} \\ {\color{blue}a_{31}} & {\color{blue}a_{32}} \end{vmatrix} \end{align*} $$
Anmerkung
$$ \begin{vmatrix} +& - & \colorbox{yellow}{$+$} \\ -& + & - \\ +& - & + \end{vmatrix} $$
Berechne den Kofaktor $A_{32}$ einer 3x3 Matrix.
$$ \begin{align*} A_{32} & = (-1)^{3+2} \cdot D_{32} \\[5px] &= (-1)^{\colorbox{yellow}{$5$}} \cdot \begin{vmatrix} {\color{blue}a_{11}} & \bcancel{a_{12}} & {\color{blue}a_{13}} \\ {\color{blue}a_{21}} & \bcancel{a_{22}} & {\color{blue}a_{23}} \\ \bcancel{a_{31}} & \bcancel{a_{32}} & \bcancel{a_{33}} \end{vmatrix} \\[5px] &= \colorbox{yellow}{$-$} \begin{vmatrix} {\color{blue}a_{11}} & {\color{blue}a_{13}} \\ {\color{blue}a_{21}} & {\color{blue}a_{23}} \end{vmatrix} \end{align*} $$
Anmerkung
$$ \begin{vmatrix} +& - & + \\ -& + & - \\ +& \colorbox{yellow}{$-$} & + \end{vmatrix} $$
Anwendungen
- Laplace Entwicklungssatz zur Berechnung von Determinanten
- Inverse Matrix berechnen mithilfe der Adjunkten
