Laplace-Entwicklungssatz
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man eine Determinante mithilfe des Laplace’schen Entwicklungssatzes berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Determinante?
- Was ist ein Kofaktor?
Einordnung
Zur Berechnung von 2x2 Determinanten und 3x3 Determinanten haben wir bereits Formeln kennengelernt. Für beliebig große Determinanten können wir den Laplace’schen Entwicklungssatz oder den Gauß-Algorithmus einsetzen. Gerade für (sehr) große Determinanten eignet sich das Gauß-Verfahren besser, da der Rechenaufwand im Vergleich zum Laplace-Entwicklungssatz geringer ist.
Formel
Der Laplace-Entwicklungssatz basiert darauf, dass er eine Determinante auf die nächst kleine Determinante zurückführt. So wird zum Beispiel eine 4x4 Determinante auf eine 3x3 Determinante zurückgeführt. Diese 3x3 Determinante könnte man dann wieder mithilfe des Entwicklungssatzes auf die nächst kleinere Determinante – also auf eine 2x2 Determinante – zurückführen oder mithilfe einer anderen (einfacheren) Formel berechnen.
Zur Berechnung einer Determinante nach dem Laplace’schen Entwicklungssatz gibt es zwei Formeln. Die Formeln sehen auf den ersten Blick sehr abstrakt aus. Das untenstehende Beispiel sollte aber Klarheit schaffen!
Entwickelt man nach der $i$-ten Zeilen, lautet die Formel
$$ |A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot D_{ij} $$
Entwickelt man nach der $j$-ten Spalten, lautet die Formel
$$ |A| = \sum_{i=1}^n a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot D_{ij} $$
$|A|$ist die Determinante der Matrix$A$$a_{ij}$ist das Schnittpunktelement$(-1)^{i+j}$ist der Vorzeichenfaktor$D_{ij}$ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die$i$-te Zeile und die$j$-te Spalte streicht
Merkhilfe
$$ \text{Determinante} = \text{Schnittpunktelement} \cdot \text{Vorzeichenfaktor} \cdot \text{Unterdeterminante} $$
Beispiel
Berechne die Determinante der Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \end{pmatrix} $$
mithilfe des Entwicklungssatzes von Laplace.
Hinweis: Normalerweise würde man 3x3 Determinanten mithilfe der Regel von Sarrus berechnen. Um den Laplace’schen Entwicklungssatz zu demonstrieren, eignet sich eine 3x3 Determinante jedoch hervorragend.
Formel aufschreiben
Zunächst musst du dir überlegen, nach welcher Zeile oder Spalte du entwickeln willst. Dabei ist es egal, für welche Zeile oder Spalte du dich entscheidest: Am Ende kommt immer dasselbe Ergebnis heraus! Praktisch ist es aber, wenn du eine Zeile (oder Spalte) wählst, die möglichst viele Nullen hat. Dadurch reduziert sich der Rechenaufwand erheblich. Da in unserem Beispiel keine Null vorhanden ist, suchen wir uns irgendeine Zeile oder Spalte heraus.
Im Folgenden wird die Determinante nach der ersten Zeile ($i = 1$) entwickelt.
$$ \begin{align*} |A| &= \sum_{j=1}^3 a_{1j} \cdot (-1)^{1+j} \cdot D_{1j} \\[5px] &= a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot D_{11} + a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot D_{12} + a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot D_{13} \end{align*} $$
Werte einsetzen
In diesem Schritt schauen wir uns die Spalten einzeln an. Am Ende fassen wir alles zusammen.
1. Spalte
$$ |A| = \begin{vmatrix} \bcancel{\colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}1}$}} & \bcancel{3} & \bcancel{2} \\ \bcancel{4} & {\color{blue}6} & {\color{blue}5} \\ \bcancel{7} & {\color{blue}9} & {\color{blue}8} \end{vmatrix} \qquad |A| = \begin{vmatrix} a_{\colorbox{yellow}{$11$}} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $$
$$ a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot D_{11} = \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}1}$} \cdot (-1)^{\colorbox{yellow}{$1+1$}} \cdot \begin{vmatrix} {\color{blue}6} & {\color{blue}5} \\ {\color{blue}9} & {\color{blue}8} \end{vmatrix} $$
$a_{11}$: Schnittpunktelement der 1. Zeile und der 1. Spalte$(-1)^{1+1}$: Vorzeichenfaktor (hier positiv, da der Exponent gerade ist)$D_{11}$: Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die$1$-te Zeile und die$1$-te Spalte streicht
2. Spalte
$$ |A| = \begin{vmatrix} \bcancel{1} & \bcancel{\colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}3}$}} & \bcancel{2} \\ {\color{blue}4} & \bcancel{6} & {\color{blue}5} \\ {\color{blue}7} & \bcancel{9} & {\color{blue}8} \end{vmatrix} \qquad |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{\colorbox{yellow}{$12$}} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $$
$$ a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot D_{12} = \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}3}$} \cdot (-1)^{\colorbox{yellow}{$1+2$}} \cdot \begin{vmatrix} {\color{blue}4} & {\color{blue}5} \\ {\color{blue}7} & {\color{blue}8} \end{vmatrix} $$
$a_{12}$: Schnittpunktelement der 1. Zeile und der 2. Spalte$(-1)^{1+2}$: Vorzeichenfaktor (hier negativ, da der Exponent ungerade ist)$D_{12}$: Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die$1$-te Zeile und die$2$-te Spalte streicht
3. Spalte
$$ |A| = \begin{vmatrix} \bcancel{1} & \bcancel{3} & \bcancel{\colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}2}$}} \\ {\color{blue}4} & {\color{blue}6} & \bcancel{5} \\ {\color{blue}7} & {\color{blue}9} & \bcancel{8} \end{vmatrix} \qquad |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{\colorbox{yellow}{$13$}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $$
$$ a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot D_{13} = \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}2}$} \cdot (-1)^{\colorbox{yellow}{$1+3$}} \cdot \begin{vmatrix} {\color{blue}4} & {\color{blue}6} \\ {\color{blue}7} & {\color{blue}9} \end{vmatrix} $$
$a_{13}$: Schnittpunktelement der 1. Zeile und der 3. Spalte$(-1)^{1+3}$: Vorzeichenfaktor (hier positiv, da der Exponent gerade ist)$D_{13}$: Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die$1$-te Zeile und die$3$-te Spalte streicht
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} |A| &= 1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 5 \\ 9 & 8 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} \\[5px] &= 1 \cdot (6 \cdot 8 - 9 \cdot 5) - 3 \cdot (4 \cdot 8 - 7 \cdot 5) + 2 \cdot (4 \cdot 9 - 7 \cdot 6) \\[5px] &= 1 \cdot (48 - 45) - 3 \cdot (32 - 35) + 2 \cdot (36 - 42) \\[5px] &= 1 \cdot 3 - 3 \cdot (-3) + 2 \cdot (-6) \\[5px] &= 3 + 9 - 12 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$
