Determinante berechnen nach Gauß
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man eine Determinante mithilfe des Gauß-Algorithmus berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Determinante?
- Gauß-Algorithmus
Einordnung
Zur Berechnung von 2x2 Determinanten und 3x3 Determinanten haben wir bereits Formeln kennengelernt. Für beliebig große Determinanten können wir den Laplace’schen Entwicklungssatz oder den Gauß-Algorithmus einsetzen. Gerade für (sehr) große Determinanten eignet sich das Gauß-Verfahren besser, da der Rechenaufwand im Vergleich zum Laplace-Entwicklungssatz geringer ist.
Hinweis: Im Folgenden schauen wir uns das Verfahren anhand einer 3x3 Determinante an. Normalerweise würde man 3x3 Determinanten mithilfe der Regel von Sarrus berechnen.
Exkurs: Determinante einer Dreiecksmatrix
Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente.
$$ \begin{align*} |\tilde{A}| &= \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} \\[5px] &= 1 \cdot (-1) \cdot (-6) \\[5px] &= 6 \end{align*} $$
Die Determinante einer Dreiecksmatrix zu berechnen, ist sehr einfach. Eine Matrix in Dreiecksform zu bringen, ist dagegen schwieriger. Bei den für die Umformung notwendigen Schritte müssen wir vor allem darauf achten, ob sich der Wert der Determinante ändert. Denn:
Manche elementaren Zeilenumformungen verändern den Wert der Determinante.
Zu berechnen sei die Determinante
$$ |A| = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} $$
Durch elementare Zeilenumformungen bringen wir die Determinante in obere Dreiecksform
$$ |\tilde{A}| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} $$
Wenn wir die Determinante $|A|$ mit der Determinante $|\tilde{A}|$ vergleichen, stellen wir fest:
$$ 12 \neq 6 \quad\Rightarrow\quad |A| \neq |\tilde{A}| $$
Schritte, die den Wert der Determinante verändern, müssen wir wieder rückgängig machen. Wie das genau funktioniert, erkläre ich euch am Ende des Kapitels an einem ausführlichen Beispiel.
Exkurs: Eigenschaften einer Determinante
Eigenschaft 1
Addiert man zu einer Zeile das Vielfache einer anderen (!) Zeile, so ändert sich der Wert der Determinante nicht.
Eigenschaft 2
Multipliziert man eine Zeile mit einer Zahl $\lambda$, so ändert sich die Determinante, um das $\lambda$-fache.
Da man Zeilen beim Gauß-Algorithmus häufig mit einer Zahl $\lambda$ multipliziert, muss man anschließend die Determinante durch $\lambda$ dividieren bzw. mit $1/\lambda$ multiplizieren, damit der Wert der Determinante erhalten bleibt.
Beispiel
Berechne die Determinante der Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 4 \\ -2 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$
mithilfe des Gauß-Algorithmus.
Determinante in obere Dreiecksform bringen
1. Schritt: Division der 1. Zeile durch 2
Um die nachfolgenden Schritte zu vereinfachen, teilen wir die 1. Zeile durch $2$.
Da sich dadurch die Determinante halbiert, muss man die Determinante mit $2$ multiplizieren (vgl. Eigenschaft 2), damit ihr Wert trotz der Umformung erhalten bleibt.
$$ |A| = \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}2}$} \cdot \begin{vmatrix} {\color{red}1} & {\color{red}-1} & {\color{red}2} \\ -2 & 1 & -6 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} $$
2. Schritt: Berechnung der Null in der 3. Zeile (1. Spalte)
Um die Null zu berechnen, ziehen wir von der 3. Zeile die 1. Zeile ab.
Der Wert der Determinante ändert sich dadurch nicht (vgl. Eigenschaft 1).
$$ |A| = \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}2}$} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -6 \\ {\color{red}0} & 1 & -4 \end{vmatrix} $$
3. Schritt: Berechnung der Null in der 2. Zeile (1. Spalte)
Um die Null zu berechnen, addieren wir zu der 2. Zeile zweimal die 1. Zeile.
Der Wert der Determinante ändert sich dadurch nicht (vgl. Eigenschaft 1).
$$ |A| = \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}2}$} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ {\color{red}0} & -1 & -2 \\ {\color{red}0} & 1 & -4 \end{vmatrix} $$
4. Schritt: Berechnung der Null in der 3. Zeile (2. Spalte)
Um die Null zu berechnen, addieren wir zu der 3. Zeile die 2. Zeile.
Der Wert der Determinante ändert sich dadurch nicht (vgl. Eigenschaft 1).
$$ |A| = \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}2}$} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ {\color{red}0} & -1 & -2 \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & -6 \end{vmatrix} $$
Determinante berechnen
Die Determinante liegt jetzt in oberer Dreiecksform vor. Wir müssen deshalb nur noch die Elemente der Hauptdiagonalen miteinander multiplizieren, um das Ergebnis zu erhalten.
$$ \begin{align*} |A| &= \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}2}$} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -6 \end{vmatrix} \\[5px] &= \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}2}$} \cdot [1 \cdot (-1) \cdot (-6)] \\[5px] &= 12 \end{align*} $$
Anmerkung
In diesem Beispiel gilt:
$$ |A| = 2 \cdot |\tilde{A}| $$
Die Determinante der Matrix $A$ ist doppelt so groß wie die Determinante der Matrix $A$ in Dreiecksform ($\tilde{A}$).
