Gauß-Algorithmus
In diesem Kapitel besprechen wir den Gauß-Algorithmus.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein lineares Gleichungssystem?
- Additionsverfahren
Einordnung
Der Gauß-Algorithmus ist ein Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme.
Der Gauß-Algorithmus basiert auf dem Additionsverfahren.
Anleitung
Lineares Gleichungssystem in Tabellenform aufschreiben
Koeffizientenmatrix in obere Dreiecksmatrix umformen
Lösung berechnen
Lösungsmenge aufschreiben
zu 2)
Koeffizientenmatrix in obere Dreiecksmatrix umformen
heißt übersetzt, dass wir unter der Hauptdiagonalen Nullen erzeugen müssen.
Reihenfolge
Bei der Berechnung der Nullen müssen wir auf die Reihenfolge achten: Erst berechnen wir die beiden Nullen in der 1. Spalte, dann die Null in der 2. Spalte.
Zulässige Umformungen
Um die Nullen zu berechnen, dürfen wir Zeilen
- addieren / subtrahieren
- mit einer Zahl multiplizieren / durch eine Zahl dividieren
- vertauschen*
* Falls bereits Nullen vorhanden sind, kann es sich lohnen, entsprechend Zeilen und/oder Spalten zu tauschen. Beim Tausch von Spalten müssen wir darauf achten, auch die Variablen mitzunehmen.
Beispiel
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} x_1 - x_2 + 2x_3 &= 0 \\ -2x_1 + x_2 - 6x_3 &= 0 \\ x_1 - 2x_3 &= 3 \\ \end{align*} $$
mithilfe des Gauß-Algorithmus.
Lineares Gleichungssystem in Tabellenform aufschreiben
$$ \begin{array}{rrr|c} x_1 & x_2 & x_3 & \\ \hline 1 & -1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & -6 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 3 \end{array} $$
Koeffizientenmatrix in obere Dreiecksmatrix umformen
$$ \begin{array}{rrr|c|l} x_1 & x_2 & x_3 & & \\ \hline 1 & -1 & 2 & 0 & \\ -2 & 1 & -6 & 0 & \\ 1 & 0 & -2 & 3 & \textrm{III} - \textrm{I} \\ \hline 1 & -1 & 2 & 0 & \\ -2 & 1 & -6 & 0 & \textrm{II} + 2 \cdot \textrm{I} \\ {\color{green}0} & 1 & -4 & 3 & \\ \hline 1 & -1 & 2 & 0 & \\ {\color{green}0} & -1 & -2 & 0 & \\ {\color{green}0} & 1 & -4 & 3 & \textrm{III} + \textrm{II} \\ \hline 1 & -1 & 2 & 0 & \\ {\color{green}0} & -1 & -2 & 0 & \\ {\color{green}0} & {\color{green}0} & -6 & 3 & \\ \end{array} $$
Um Schreibarbeit zu sparen, nutzen Mathematiker meist eine der folgenden komprimierten Schreibweisen. Anfängern empfehle ich allerdings die ausführliche Schreibweise.
Komprimierte Schreibweise 1
$$ \begin{array}{rrr|c|l} x_1 & x_2 & x_3 & & \\ \hline 1 & -1 & 2 & 0 & \\ -2 & 1 & -6 & 0 & \textrm{II} + 2 \cdot \textrm{I} \\ 1 & 0 & -2 & 3 & \textrm{III} - \textrm{I} \\ \hline {\color{green}0} & -1 & -2 & 0 & \\ {\color{green}0} & 1 & -4 & 3 & \textrm{III} + \textrm{II} \\ \hline {\color{green}0} & {\color{green}0} & -6 & 3 & \\ \end{array} $$
Komprimierte Schreibweise 2
$\textrm{II} + {\color{red}2} \cdot \textrm{I}$kürzen wir ab mit$\lambda = 2$.$\textrm{III} {\color{red}\,-\,1} \cdot \textrm{I}$kürzen wir ab mit$\lambda = -1$.$\textrm{III} + {\color{red}1} \cdot \textrm{II}$kürzen wir ab mit$\lambda = 1$.
$$ \begin{array}{r|rrr|c} \lambda & x_1 & x_2 & x_3 & \\ \hline & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & -6 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 & 3 \\ \hline & {\color{green}0} & -1 & -2 & 0 \\ 1 & {\color{green}0} & 1 & -4 & 3 \\ \hline & {\color{green}0} & {\color{green}0} & -6 & 3 \\ \end{array} $$
Lösung berechnen
$$ \begin{align*} x_1 - x_2 + 2x_3 &= 0 \\ -x_2 - 2x_3 &= 0 \\ -6x_3 &= 3 \\ \end{align*} $$
$x_3$ berechnen
3. Zeile nach $x_3$ auflösen
$$ -6x_3 = 3 \quad \Rightarrow \quad x_3 = -0{,}5 $$
$x_2$ berechnen
$x_3 = -0{,}5$ in 2. Zeile einsetzen und nach $x_2$ auflösen
$$ -x_2 - 2 \cdot (-0{,}5) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 1 $$
$x_1$ berechnen
$x_3 = -0{,}5$ und $x_2 = 1$ in die 1. Zeile einsetzen und nach $x_1$ auflösen
$$ x_1 - 1 + 2 \cdot (-0{,}5) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2 $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{(2|1|{-0{,5}})\} $$
Anmerkung
$(2|1|{-0{,5}})$ ist ein Tupel, wobei zuerst der $x_1$-Wert, dann der $x_2$-Wert und zuletzt der $x_3$-Wert genannt wird.
