Einsetzungsverfahren
In diesem Kapitel schauen wir uns das Einsetzungsverfahren an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein lineares Gleichungssystem?
- Wie löst man lineare Gleichungen?
Einordnung
Das Einsetzungsverfahren ist ein Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.
Anleitung
Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
Berechneten Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
Berechneten Wert in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und zweiten Wert berechnen
Lösungsmenge aufschreiben
Der Einfachheit halber beschränken wir uns im Folgenden auf lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen.
Beispiele
Eine Lösung
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 2x + 3y &= 14 \\ x + 2y &= 8 \end{align*} $$
mithilfe des Einsetzungsverfahrens.
Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
Wir entscheiden uns dafür, die 2. Gleichung nach $x$ aufzulösen, da wir dafür nur $2y$ subtrahieren müssen.
$$ x + 2y = 8 \qquad |\, {\color{red}-2y} $$
$$ x + 2y {\color{red}\: - \: 2y} = 8 {\color{red}\: - \: 2y} $$
$$ x = {\colorbox{yellow}{$8 - 2y$}} $$
Berechneten Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen $x = {\colorbox{yellow}{$8 - 2y$}}$ in die 1. Gleichung
$$ 2x + 3y = 14 $$
ein und erhalten
$$ 2 \cdot ({\colorbox{yellow}{$8 - 2y$}}) + 3y = 14 $$
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
Wir lösen die Gleichung nach $y$ auf
$$ 2 \cdot (8 - 2y) + 3y = 14 $$
$$ 16 - 4y + 3y = 14 $$
$$ 16 - y = 14 \qquad |\, {\color{red}-16} $$
$$ 16 {\color{red}\: - \: 16} - y = 14 {\color{red}\: - \: 16} $$
$$ -y = -2 \qquad |\, {\color{orange}\cdot (-1)} $$
$$ -y {\color{orange}\: \cdot \: (-1)} = -2 {\color{orange} \: \cdot \: (-1)} $$
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$y = 2$}} $$
Berechneten Wert in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und zweiten Wert berechnen
Die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ist
$$ {\colorbox{yellow}{$x = 8 - 2y$}} $$
In diese Gleichung setzen wir $y = 2$ ein
$$ x = 8 - 2 \cdot 2 $$
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$x = 4$}} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{(4|2)\} $$
Anmerkung
$(4|2)$ ist ein Tupel, wobei zuerst der $x$-Wert und dann der $y$-Wert genannt wird.
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 2x + y &= 4 \\ 3x + 2y &= 5 \end{align*} $$
mithilfe des Einsetzungsverfahrens.
Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
Wir lösen die 1. Gleichung nach $y$ auf, da wir dafür nur $2x$ subtrahieren müssen.
$$ 2x + y = 4 \qquad |\, -2x $$
Auf diese Weise erhalten wir
$$ y = {\colorbox{yellow}{$4 - 2x$}} $$
Berechneten Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen $y = {\colorbox{yellow}{$4 - 2x$}}$ in die 2. Gleichung
$$ 3x + 2y = 5 $$
ein und erhalten
$$ 3x + 2 ({\colorbox{yellow}{$4 - 2x$}}) = 5 $$
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
Jetzt lösen wir die Gleichung nach $x$ auf.
$$ 3x + 2 (4 - 2x) = 5 $$
$$ 3x + 8 - 4x = 5 $$
$$ -x + 8 = 5 \qquad |\, -8 $$
$$ -x = -3 \qquad |\, \cdot (-1) $$
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$x = 3$}} $$
Berechneten Wert in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und zweiten Wert berechnen
Die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ist
$$ {\colorbox{yellow}{$y = 4 - 2x$}} $$
In diese Gleichung setzen wir $x = 3$ ein
$$ y = 4 - 2 \cdot 3 $$
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$y = -2$}} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{(3|{-2})\} $$
Keine Lösung
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 6x + 4y &= 8 \\ 3x + 2y &= 5 \end{align*} $$
mithilfe des Einsetzungsverfahrens.
Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
Wir lösen die 2. Gleichung nach $y$ auf.
$$ 3x + 2y = 5 \qquad |\, -3x $$
$$ 2y = 5 - 3x \qquad |\, :2 $$
Auf diese Weise erhalten wir
$$ y = {\colorbox{yellow}{$2{,}5 - 1{,}5x$}} $$
Berechneten Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen $y = {\colorbox{yellow}{$2{,}5 - 1{,}5x$}}$ in die 1. Gleichung
$$ 6x + 4y = 8 $$
ein und erhalten
$$ 6x + 4 \cdot ({\colorbox{yellow}{$2{,}5 - 1{,}5x$}}) = 8 $$
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
$$ 6x + 10 - 6x = 8 $$
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$10 = 8$}} $$
An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
Berechneten Wert in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und zweiten Wert berechnen
Dieser Schritt entfällt hier.
Lösungsmenge aufschreiben
Die Gleichung
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$10 = 8$}} $$
ist eine falsche Aussage. Das Gleichungssystem hat folglich keine Lösung.
$$ \mathbb{L} = \{\;\} $$
Unendlich viele Lösungen
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 9x + 6y &= 15 \\ 3x + 2y &= 5 \end{align*} $$
mithilfe des Einsetzungsverfahrens.
Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
Wir lösen die 2. Gleichung nach $y$ auf.
$$ 3x + 2y = 5 \qquad |\, -3x $$
$$ 2y = 5 - 3x \qquad |\, :2 $$
Auf diese Weise erhalten wir
$$ y = {\colorbox{yellow}{$2{,}5 - 1{,}5x$}} $$
Berechneten Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen $y = {\colorbox{yellow}{$2{,}5 - 1{,}5x$}}$ in die 1. Gleichung
$$ 9x + 6y = 15 $$
ein und erhalten
$$ 9x + 6 \cdot ({\colorbox{yellow}{$2{,}5 - 1{,}5x$}}) = 15 $$
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
$$ 9x + 15 - 9x = 15 $$
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$15 = 15$}} $$
An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
Berechneten Wert in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und zweiten Wert berechnen
Dieser Schritt entfällt hier.
Lösungsmenge aufschreiben
Die Gleichung
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$15 = 15$}} $$
ist eine allgemeingültige Aussage. Das Gleichungssystem hat folglich unendlich viele Lösungen.
$$ \mathbb{L} = \{(x|y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\colon y = -1{,}5x + 2{,}5\} $$
